Toán 10 Bất đẳng thức

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh các bđt sau:
1) [tex]a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} \geq a\left ( b + c + d + 2 \right )[/tex]
2) [tex]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{1}{\sqrt{ab}} + \frac{1}{\sqrt{bc}} + \frac{1}{\sqrt{ca}}[/tex] với [tex]a, b, c > 0[/tex]
3) [tex]\frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq \left ( \frac{a + b}{2} \right )^{3}[/tex] với [tex]a, b \geq 0[/tex]
4) [tex]a^{4} + b^{4} \leq \frac{a^{6}}{b^{2}} + \frac{b^{6}}{a^{2}}[/tex] với [tex]a, b \neq 0.[/tex]
5) [tex]\frac{a^{2} + 3}{\sqrt{a^{2} + 2}} > 2[/tex]

 

[Dora_Dora]

Chứng minh các bđt sau:
1) [tex]a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} \geq a\left ( b + c + d + 2 \right )[/tex]
2) [tex]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{1}{\sqrt{ab}} + \frac{1}{\sqrt{bc}} + \frac{1}{\sqrt{ca}}[/tex] với [tex]a, b, c > 0[/tex]
3) [tex]\frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq \left ( \frac{a + b}{2} \right )^{3}[/tex] với [tex]a, b \geq 0[/tex]
4) [tex]a^{4} + b^{4} \leq \frac{a^{6}}{b^{2}} + \frac{b^{6}}{a^{2}}[/tex] với [tex]a, b \neq 0.[/tex]
5) [tex]\frac{a^{2} + 3}{\sqrt{a^{2} + 2}} > 2[/tex]

Câu 1: có nhầm đề k bạn. Mình nghĩ vế phải phải là a(b+c+d+e) chứ nhỉ (Trường hợp này bạn biến đổi tương đương <Nhân 4 vào 2 vế bđt rồi chuyển vế tách thành bình phương> là ra nhé )
Câu 2+3: https://diendan.hocmai.vn/threads/bat-dang-thuc.779515/#post-3873416
Câu 4: Áp dụng Cosi
a^6/b^2 +a^2.b^2 >=2a^4
Tương tự và cộng vế --> a^6/b^2+ b^6/a^2 +2a^2.b^2 >= 2(a^4+b^4) (1)
Lại có a^4+b^4 >= 2a^2.b^2 (2)
Cộng vế tương ứng (1) và (2) -->dpcm
Dấu "=" <--> a=b
Câu 5:
bđt <--> a^2+3>=2 căn(a^2+2)
<--> (căn(a^2+2))^2 - 2 căn(a^2+2) +1 >=0
<--> ( căn(a^2+2) -1) ^2 >=0 (đúng)
--> dpcm