Toán 9 Bất đẳng thức

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]P = a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{ab + bc + ca}{a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a}[/tex]

 

[Tps1#]

Ta có : [tex]3(a^2 + b^2 + c^2) = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2) = a^3 + b^3 + c^3 + a^2b + b^2c + c^2a + ab^2 + bc^2 + ca^2[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy :
[tex]\left\{\begin{matrix} a^3 + ab^2 \geq 2a^2b & \\ b^3 + bc^2 \geq 2b^2c & \\ c^3 + ca^2 \geq 2c^2a & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow P \geq a^2 + b^2 + c^2 + \frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2} \Rightarrow P \geq a^2 + b^2 + c^2 + \frac{9 - (a^2 + b^2 + c^2)}{2(a^2 + b^2 + c^2)}[/tex]
Đặt [tex]f = a^2 + b^2 + c^2 \Rightarrow t \geq 3 \Rightarrow P \geq t + \frac{9 - t}{2t} = \frac{t}{2} + \frac{9}{2t} + \frac{t}{2} - \frac{1}{2} \geq 3 + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 4 \Rightarrow P \geq 4[/tex]
Dấu ''='' xảy ra [tex]\Leftrightarrow[/tex] a = b = c = 1