Toán 9 Bất đẳng thức

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) Cho a, b, x, y là các số thực. Chứng minh rằng: [tex]\left ( a^{2} + b^{2} \right )\left ( x^{2} + y^{2} \right )\geq \left ( ax+by \right )^{2}[/tex]
b) Cho các số a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3.
Chứng minh rằng: [tex]\frac{1}{a^{2} + 2} + \frac{1}{b^{2} + 2} + \frac{1}{c^{2} + 2} \leq 1[/tex]

 

[7 1 2 5]

a) Biến đổi tương đương BĐT, ta có:
[tex](a^2+b^2)(x^2+y^2)\geq (ax+by)^2\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\geq a^2x^2+2axby+b^2y^2\Leftrightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2\geq 0\Leftrightarrow (ay-bx)^2\geq 0(t/m)[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}[/tex]

 

[mỳ gói]

Câu 2 , kĩ thuật Cauchy ngược dấu cơ bản.
[tex]\frac{2}{a^2+2}-1=\frac{-a^2}{a^2+2}[/tex]
bất đẳng thức cần cm tương đương với
[tex]\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\geq 1[/tex]
theo Cauchy Schwarz
[tex]\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\\\geq\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+6} \\=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1[/tex]