Toán 9 Bất đẳng thức

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y, z > 0 với mọi x + y + z = 1. Chứng minh rằng [tex]\frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} \geq 30[/tex]

 

[dangtiendung1201]

Cho x, y, z > 0 với mọi x + y + z = 1. Chứng minh rằng [tex]\frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} \geq 30[/tex]

\[\begin{align}
& \frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge \frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{9}{xy+yz+xz} \\
& =(\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{1}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yz+xz})+\frac{7}{xy+yz+xz} \\
& \ge \frac{9}{{{(x+y+z)}^{2}}}+\frac{21}{{{(x+y+z)}^{2}}}(BDT:{{(x+y+z)}^{2}}\ge 3(xy+yz+xz)) \\
& =30 \\
& ''=''\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3} \\
\end{align}\]

 

[lhanh13121968@gmail.com]

Cho x, y, z > 0 với mọi x + y + z = 1. Chứng minh rằng [tex]\frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} \geq 30[/tex]

\[\begin{align}
& \frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge \frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{9}{xy+yz+xz} \\
& =(\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{1}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yz+xz})+\frac{7}{xy+yz+xz} \\
& \ge \frac{9}{{{(x+y+z)}^{2}}}+\frac{21}{{{(x+y+z)}^{2}}}(BDT:{{(x+y+z)}^{2}}\ge 3(xy+yz+xz)) \\
& =30 \\
& ''=''\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3} \\
\end{align}\]

xài khác một chút nha bạn
áp dụng 1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)
và a^2+b^2+c^2>=xy+yz+xz
có 1/xy +1/yz +1/xz >=9/(xy+yz+xz) >= 9/(x^2+y^2+z^2) >=9/[1/3*(x+y+z)^2].=27 ( có a^2+b^2+c^2=<3(a+b+c)^2)
1/(x^2+y^2+z^2)>=1/(1/3)>= 3
cộng vế ta sẽ dc dpcm
dấu = a=b=c=1/3