Toán 9 Bất đẳng thức

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng:$$(\frac{6}{a} - 1)(\frac{6}{b} - 1)(\frac{6}{c} - 1) \geq 8 .$$
2. Cho các số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh .
$$A = \frac{3}{xy + yz + zx} + \frac{2}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} > 14$$

 

[tfs-akiranyoko]

1.
$$(\frac{6}{a} - 1)(\frac{6}{b} - 1)(\frac{6}{c} - 1) =(\frac{6-a}{a} )(\frac{6-b}{b} )(\frac{6-c}{c})=\frac{(6-a)(6-b)(6-c)}{abc}=\frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}\geq \frac{8abc}{abc}=8 (dpcm)$$
2.$$A=\frac{3}{xy + yz + zx} + \frac{2}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}=\frac{6}{2xy +2yz + 2zx} + \frac{2}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}=\frac{2}{2xy +2yz + 2zx} + \frac{2}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}+\frac{4}{2xy +2yz + 2zx}\geq 2.\frac{4}{(x+y+z)^2}+\frac{2}{xy+yz+zx}\geq 8+\frac{2}{\frac{(x+y+z)^2}{3}}=8+6=14$$
Do ko xảy ra dấu = nên nó >14