Toán 10 Bất đẳng thức

[LY LÙN 999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
a) Chứng minh [tex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}[/tex]
b) [tex]\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}\geq 2\sqrt{2}[/tex]
c) a,b,c>0, chứng minh [tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex]

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Bài 1:
a) Chứng minh [tex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}[/tex]
b) [tex]\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}\geq 2\sqrt{2}[/tex]
c) a,b,c>0, chứng minh [tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex]

a, [tex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}\\\\ <=> \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq \frac{(a+b+c)^2}{9}\\\\ <=> a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\\\\ <=> 3.(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\\\\ <=> 3.(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\\\\ <=> 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\geq 0\\\\ <=> (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0[/tex]
luôn đúng
dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
b, sai đề nếu x<y => VT<0; mà VP>0 => vô lí
c, áp dụng Binhiacopxki có:
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\\\\ =\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+bc}\\\\ \geq \frac{(a+b+c)^2}{2.(ab+bc+ca)}[/tex]
lại có: [tex]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\\\\ <=> a^2+b^2+c^2+2.(ab+bc+ca)\geq 3.(ab+bc+ca)\\\\ <=> (a+b+c)^2\geq 3.(ab+bc+ca)[/tex]
=> [tex]\frac{(a+b+c)^2}{2.(ab+bc+ca)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2.\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{3}{2}[/tex]
dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

 

[tfs-akiranyoko]

Bài 1
a.[tex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}=\frac{a^{2}}{3}+\frac{b^{2}}{3}+\frac{c^{2}}{3}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3+3+3}=(\frac{a+b+c}{3})^{2}(Cauchy-Schwarz)[/tex]
b. 2 vế cùng nhân với x-y rồi dúng tương đương phần này dễ em nghĩ anh làm dc
c.
[tex]\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}=(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq (a+b+c)\frac{9}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2}\\\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{9}{2}-1-1-1=\frac{3}{2}[/tex]

 

[LY LÙN 999]

Bài 1:
a) Chứng minh [tex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}[/tex]
b) [tex]\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}\geq 2\sqrt{2}[/tex]
c) a,b,c>0, chứng minh [tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex]

Bài 2:
a) Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Tìm GTLN của biểu thức B=[tex]\sqrt{a^{2}+4ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+4bc+c^2}+\sqrt{c^{2}+4ac+a^{2}}[/tex]
b) a+b+ab=3. Tìm GTNN của biểu thức B=[tex]a^{2}+b^{2}[/tex]

 

[LY LÙN 999]

a, [tex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}\\\\ <=> \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq \frac{(a+b+c)^2}{9}\\\\ <=> a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\\\\ <=> 3.(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\\\\ <=> 3.(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\\\\ <=> 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\geq 0\\\\ <=> (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0[/tex]
luôn đúng
dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
b, sai đề nếu x<y => VT<0; mà VP>0 => vô lí
c, áp dụng Binhiacopxki có:
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\\\\ =\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+bc}\\\\ \geq \frac{(a+b+c)^2}{2.(ab+bc+ca)}[/tex]
lại có: [tex]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\\\\ <=> a^2+b^2+c^2+2.(ab+bc+ca)\geq 3.(ab+bc+ca)\\\\ <=> (a+b+c)^2\geq 3.(ab+bc+ca)[/tex]
=> [tex]\frac{(a+b+c)^2}{2.(ab+bc+ca)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2.\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{3}{2}[/tex]
dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

hic sorry mình nhầm câu b là x>y

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Bài 2:
a) Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Tìm GTLN của biểu thức B=[tex]\sqrt{a^{2}+4ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+4bc+c^2}+\sqrt{c^{2}+4ac+a^{2}}[/tex]
b) a+b+ab=3. Tìm GTNN của biểu thức B=[tex]a^{2}+b^{2}[/tex]

[tex]\sqrt{6}.\sqrt{a^{2}+4ab+b^{2}}\leq \frac{6+(a^2+4ab+b^2)}{2}[/tex]
CMTT =>... cộng từng vế...
[tex]\sqrt{6}.B\leq \frac{18+2.(a+b+c)^2}{2}=9+3^2=9+9=18\\\\ <=> B\leq \frac{18}{\sqrt{6}}=3\sqrt{6}[/tex]
dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
b, [tex]B+2=a^2+1+b^2+1\geq \frac{(a+1)^2}{2}+\frac{(b+1)^2}{2}=\frac{(a+1)^2+(b+1)^2}{2}\\\\ \geq \frac{2.(a+1).(b+1)}{2}=(a+1).(b+1)[/tex]
mặt khác: [tex]a+b+ab=3\\\\ <=> a+b+ab+1=4\\\\ <=> (a+1).(b+1)=4[/tex]
=> [tex]B+2\geq 4<=> B\geq 2[/tex] [tex]B+2\geq 4<=> B\geq 2[/tex]
dấu "=" xảy ra <=> a=b=1

 

[tfs-akiranyoko]

Bài 2:
a) Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Tìm GTLN của biểu thức B=+4bc+c^2}+\sqrt{c^{2}+4ac+a^{2}}[/tex]
b) a+b+ab=3. Tìm GTNN của biểu thức B=[tex]a^{2}+b^{2}[/tex]

a.
BĐT phụ : [tex]a^{2}+4ab+b^{2} \leq \frac{3}{2}(a+b)^2[/tex] (CM luôn đúng theo tương đương dc nhé)
Ta có: [tex]\sum \sqrt{a^{2}+4ab+b^{2}} \leq \sum \sqrt{\frac{3}{2}(x+y)^2}=\sqrt{\frac{3}{2}}.\sum (x+y)=\sqrt{\frac{3}{2}}.6=3\sqrt{6}[/tex]
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
b.
Đặt [tex]A=\sqrt{a^2+b^2}\\Cauchy: ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}=\frac{A^2}{2}\\Bunhiacopxki:(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)=2A^2\rightarrow a+b\leq \sqrt{2}A[/tex]
[tex]a+b+ab=3\leq \frac{A^2}{2}+\sqrt{2}A\rightarrow A^2+2\sqrt{2}A\geq 6\rightarrow (A+\sqrt{2})^2\geq 8\rightarrow A+\sqrt{2}\geq 2\sqrt{2}\rightarrow A\geq \sqrt{2}\rightarrow a^2+b^2\geq 2\\"= "\Leftrightarrow a=b=1[/tex]

 

[LY LÙN 999]

[tex]\sqrt{6}.\sqrt{a^{2}+4ab+b^{2}}\leq \frac{6+(a^2+4ab+b^2)}{2}[/tex]
CMTT =>... cộng từng vế...
[tex]\sqrt{6}.B\leq \frac{18+2.(a+b+c)^2}{2}=9+3^2=9+9=18\\\\ <=> B\leq \frac{18}{\sqrt{6}}=3\sqrt{6}[/tex]
dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
b, [tex]B+2=a^2+1+b^2+1\geq \frac{(a+1)^2}{2}+\frac{(b+1)^2}{2}=\frac{(a+1)^2+(b+1)^2}{2}\\\\ \geq \frac{2.(a+1).(b+1)}{2}=(a+1).(b+1)[/tex]
mặt khác: [tex]a+b+ab=3\\\\ <=> a+b+ab+1=4\\\\ <=> (a+1).(b+1)=4[/tex]
=> [tex]B+2\geq 4<=> B\geq 2[/tex] [tex]B+2\geq 4<=> B\geq 2[/tex]
dấu "=" xảy ra <=> a=b=1

tại sao câu a lại nhân với căn 6 ạ