Toán 9 Bất đẳng thức

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là số thực dương
Chứng minh
[tex]2\left ( \frac{a}{b + 2c} + \frac{b}{c + 2a} + \frac{c}{a + 2b} \right ) \geq 1 + \frac{b}{b + 2a} + \frac{c}{c + 2b} + \frac{a}{a + 2c}[/tex]

 

[tfs-akiranyoko]

Áp dụng cái này: [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{ab}[/tex] Có:
[tex]\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{b+2a}\geq \frac{4}{2a+2b+2c}=\frac{2}{a+b+c}\\\rightarrow \frac{a}{b+2c}+\frac{a}{b+2a}\geq \frac{2a}{a+b+c}(1)\\TT:\frac{b}{c+2a}+\frac{b}{c+2b}\geq \frac{2b}{a+b+c}(2)\\\frac{c}{a+2c}+\frac{c}{a+2b}\geq \frac{2c}{a+b+c}(3)\\(1)+(2)+(3):\\\rightarrow \frac{a}{b+2c}+\frac{a}{b+2a}+\frac{b}{c+2a}+\frac{b}{c+2b}+\frac{c}{a+2c}+\frac{c}{a+2b}\geq 2\\\rightarrow \frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\geq 2-\frac{a}{b+2a}-\frac{b}{c+2b}-\frac{c}{a+2c}\\\rightarrow 2(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b})\geq 4-\frac{2a}{b+2a}-\frac{2b}{c+2b}-\frac{2c}{a+2c}=1+1-\frac{2a}{b+2a}+1-\frac{2b}{c+2b}+1-\frac{2c}{a+2c}=1+\frac{b}{b+2a}+\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c}(dpcm)[/tex]