Toán 9 Bất đẳng thức

[superspeedy100]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho x, y, z là ba so dương. Chứng minh rằng [tex]\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy}\leq \frac{1}{2} ( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})[/tex]

2) Với các số thực không âm x, y, z thoả mãn [tex]x^2+y^2+z^2[/tex] = 2
a) Chứng minh x+y+z[tex]\leq[/tex]2+xy
b) Tìm GTLN của biểu thức P = [tex]\frac{x}{2+yz}+\frac{y}{2+zx}+\frac{z}{2+xy}[/tex]

3) Xét các số thực x, y, z thoả mãn 2([tex]y^2+yz+z^2[/tex] ) + 3[tex]x^2[/tex] = 36. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x+y+z.

4) Cho a, b, c thay đổi thoả mãn [tex]a\geq 1, b\geq 1, c\geq 1[/tex] và ab+bc+ca=9. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P =[tex]a^2+b^2+c^2[/tex] .

Mọi người giúp mình với! Cảm ơn nha.

 

[tfs-akiranyoko]

C1
[tex]\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy}\leq \frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{zx}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{xy}}{2xyz}+\frac{\sqrt{zx}}{2xyz}+\frac{\sqrt{xy}}{2xyz}=\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{zx}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}{xyz})\leq \frac{1}{2}(\frac{x+y+z}{xyz})=\frac{1}{2}(\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy})[/tex]
C3
Có:
[tex](x-y)^2+(x-z)^2+(x+y+z)^2\geq (x+y+z)^2\\\rightarrow x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2xy\geq (x+y+z)^2\\\rightarrow A^2\leq 3x^2+2y^2+2yz+2z^2 =36\\\rightarrow -6\leq A\leq 6[/tex]
C4
Min
[tex]a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca=9[/tex]
Dấu = xr khi a=b=c= căn3
Max
Ta có:
[tex]a\geq 1 ; b\geq 1;c\geq 1\\\rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0 \rightarrow ab-a-b+1\geq 0(1)\\\rightarrow (c-1)(b-1)\geq 0 \rightarrow cb-c-b+1\geq 0(2)\\\rightarrow (a-1)(c-1)\geq 0 \rightarrow ac-a-c+1\geq 0(3)[/tex]
Cộng (1) (2) (3) vô
[tex]ab+bc+ca-2(a+b+c)+3\geq 0\rightarrow 9-2(a+b+c)\geq 3\rightarrow a+b+c\leq 6\rightarrow (a+b+c)^2\leq 36\rightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\leq 36\rightarrow a^2+b^2+c^2+2.9\leq 36 \rightarrow a^2+b^2+c^2\leq 18[/tex]
Dấu = xr khi a=b=1 ; c=4
hoặc b=c=1 ; a=4
hoặc c=a=1 ; b=4

 

[Hoàng Vũ Nghị]

2,Bình phương cả 2 vế đpcm ta có
[tex](x+y+z)^2\leq (2+xy)^2\\\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(x+y)z+2xy\leq 4+x^2y^2+4xy\\\Leftrightarrow 2(x+y)z\leq 2+2xy+x^2y^2[/tex]
Thật vậy
[tex]2(y+x)z\leq (x+y)^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy\leq 2+xy\leq 2+2xy+x^2y^2[/tex]
Suy ra đpcm
b,
Áp dụng a suy ra [tex]P\leq 1[/tex]
Thực ra có 1 cái là dấu < nhưng khi thay vào nó vẫn đúng
Dấu = xảy ra khi 2 số =1 ,1 số =0