Toán 8 Bất đẳng thức

[Love You At First Sight]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Làm giúp mk bài 12.26 với ạ

 

[zhinoz]

đpcm [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]a^3b+b^3c+c^3a\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2[/tex]
Áp dụng bđt AM-GM : [tex]a^3b+a^3b+b^4 \geq 3a^2b^2[/tex]
tương tự ...
=> [tex]2(a^3b+b^3c+c^3a)+(a^4+b^4+c^4)\geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)[/tex]
lại có [tex]a^4+b^4+c^4 \geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2[/tex]
=>đpcm.
đẳng thức xảy ra khi a=b=c


@@sai rồi :v

 

[Hoàng Vũ Nghị]

View attachment 104663
Làm giúp mk bài 12.26 với ạ

Giả sử [tex]a\geq b\geq c[/tex] (các TH khác xét tương tự)
ta có
[tex]c^2a(c-a)=-c^2a[(a-b)+(b-c)]=-c^2a(a-b)-c^2a(b-c)\\\Rightarrow a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\\= a^2b(a-b)+b^2c(b-c)-c^2a(a-b)-c^2a(b-c)\\=(a^2b-c^2a)(a-b)+(b^2c-c^2a)(b-c)\\=a(ab-c^2)(a-b)+c(b^2-ca)(b-c)[/tex]
Lại có
[tex]a(ab-c^2)(a-b)\geq 0[/tex]
TH1 :
[tex]b^2\geq ac\Rightarrow c(b^2-ac)(b-c)\geq 0\\\Rightarrow dpcm[/tex]
TH2:
[tex]b^2\leq ac\Rightarrow c(b^2-ac)(b-c)=-c(ac-b^2)(b-c)[/tex]
ta cần chứng minh [tex]a(ab-c^2)(a-b)-c(ac-b^2)(b-c)\geq 0[/tex]
Do [tex]a\geq c;a-c\geq b-c[/tex] nên ta cần chứng minh [tex]ab-c^2\geq ca-b^2[/tex]
Thật vậy [tex]ab-c^2-(ca-b^2)=ab-c^2-ca+b^2\\=a(b-c)+(b-c)(b+c)\geq 0[/tex]
Vậy ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi a=b=c

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Giả sử [tex]a\geq b\geq c[/tex] (các TH khác xét tương tự)
ta có
[tex]c^2a(c-a)=-c^2a[(a-b)+(b-c)]=-c^2a(a-b)-c^2a(b-c)\\\Rightarrow a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\\= a^2b(a-b)+b^2c(b-c)-c^2a(a-b)-c^2a(b-c)\\=(a^2b-c^2a)(a-b)+(b^2c-c^2a)(b-c)\\=a(ab-c^2)(a-b)+c(b^2-ca)(b-c)[/tex]
Lại có
[tex]a(ab-c^2)(a-b)\geq 0[/tex]
TH1 :
[tex]b^2\geq ac\Rightarrow c(b^2-ac)(b-c)\geq 0\\\Rightarrow dpcm[/tex]
TH2:
[tex]b^2\leq ac\Rightarrow c(b^2-ac)(b-c)=-c(ac-b^2)(b-c)[/tex]
ta cần chứng minh [tex]a(ab-c^2)(a-b)-c(ac-b^2)(b-c)\geq 0[/tex]
Do [tex]a\geq c;a-c\geq b-c[/tex] nên ta cần chứng minh [tex]ab-c^2\geq ca-b^2[/tex]
Thật vậy [tex]ab-c^2-(ca-b^2)=ab-c^2-ca+b^2\\=a(b-c)+(b-c)(b+c)\geq 0[/tex]
Vậy ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi a=b=c

Đây là BĐT hoán vị, không giả sử vậy được đâu

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

C1: Giả sử $a=max\begin{Bmatrix}
a,b,c
\end{Bmatrix}$
$$VT=a(b+c-a)(b-c)^2+b(a-b)(a-c)(a+b-c)\geq 0$$ (Luôn đúng)
C2: BĐT đã cho tương đương $$\Leftrightarrow \frac{ab+c^2}{c}+\frac{ca+b^2}{b}+\frac{bc+a^2}{a}\leq \frac{a^2+bc}{c}+\frac{b^2+ca}{a}+\frac{c^2+ab}{b}$$
Do $a^2+bc ; b^2+ca ; c^2+ab$
và $\frac{1}{a} ; \frac{1}{b} ; \frac{1}{c}$ là các dãy đơn điệu tăng ngược chiều nên ta có điều phải chứng minh
C3: Đặt $a=y+z; b= z+x; c = x+y \,\, (a,b,c>0)$
BĐT cần chứng minh tương đương
$$T=(y+z)^2(x+z)(y-x)+(x+z)^2(x+y)(z-y)+(x+y)^2(y+z)(x-z)\geq 0\Leftrightarrow y^3z+z^3x+x^3y-xyz(x+y+z)\geq 0$$
$$\Leftrightarrow x^3y+z^3x+y^3z\geq xyz(x+y+z)\Leftrightarrow \frac{x^2}{z}+\frac{z^2}{y}+\frac{y^2}{x}\geq x+y+z$$
C4: BĐT cần chứng minh tương đương $$\frac{a(a-b+c)}{c}+\frac{b(b-c+a)}{a}+\frac{c(c-a+b)}{b} \geqslant a+b+c.$$
Sử dụng Cauchy-Schwarz
$\frac{a(a-b+c)}{c}+\frac{b(b-c+a)}{a}+\frac{c(c-a+b)}{b} \geqslant \frac{[a(a-b+c)+b(b-c+a)+c(c-a+b)]^2}{ca(a-b+c)+ab(b-c+a)+bc(c-a+b)}.$
BĐT cuối đúng theo Schur bậc 4

 

[Hoàng Vũ Nghị]

C5 : áp dụng định lí Muirhead
ta có max{3;1}>max{2;2}
Suy ra đpcm