Toán 9 bất đẳng thức

[Hoàng Vũ Nghị]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c dương thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=1 .tìm max ab+bc+ca

 

[Kaito Kidㅤ]

Chắc Cauchy ngược dấu nhỉ mình làm thử tẹo
[tex]27=27(a+b)(b+c)(c+a) \leq (2(a+b+c))^3=8(a+b+c)^3 \\\rightarrow (a+b+c)^3\geq \frac{27}{8}\rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{2}[/tex]

Giờ CM BĐT [tex]9(a+b)(b+c)(c+a)= 9(ab+bc+ca)(a+b+c)-9abc \geq 8(ab+bc+ca)(a+b+c)\\\rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}.(ab+bc+ca)(a+b+c)[/tex] (1)
Áp dụng BĐT (1) ta có:
[tex]1=(a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq \frac{8}{9}.\frac{3}{2}(ab+bc+ca)\\\rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}[/tex]
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1/2