Toán 9 bất đẳng thức

[Thái Vĩnh Đạt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn [tex]\frac{1}{1+2x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+2z}=2[/tex]
Chứng minh rằng [tex]xyz\leq 64[/tex]

 

[hdiemht]

Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn [tex]\frac{1}{1+2x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+2z}=2[/tex]
Chứng minh rằng [tex]xyz\leq 64[/tex]

Chứng minh: [tex]xyz\leq \frac{1}{64}[/tex] chứ?
[tex]\frac{1}{1+2x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+2z}=2\Leftrightarrow \frac{1}{1+2x}=1-\frac{1}{1+2y}+1-\frac{1}{1+2z}=\frac{2y}{1+2y}+\frac{2z}{1+2z}\geq \frac{4\sqrt{yz}}{\sqrt{(1+2y)(1+2z)}}\Leftrightarrow \frac{1}{1+2x}\geq \frac{4\sqrt{yz}}{\sqrt{(1+2y)(1+2z)}}[/tex]
Chứng minh tương tự: [tex]\frac{1}{1+2y}\geq \frac{4\sqrt{xz}}{\sqrt{(1+2x)(1+2z)}};\frac{1}{1+2z}\geq \frac{4\sqrt{xy}}{\sqrt{(1+2x)(1+2y)}}[/tex]
Nhân lại vế theo vế: [tex]\frac{1}{1+2x}.\frac{1}{1+2y}.\frac{1}{1+2z}\geq \frac{64xyz}{(1+2x)(1+2y)(1+2z)}\Rightarrow 64xyz\leq 1\Rightarrow xyz\leq \frac{1}{64}[/tex]
Dấu ''='' .....

 

[hoangnga2709]

Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn [tex]\frac{1}{1+2x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+2z}=2[/tex]
Chứng minh rằng [tex]xyz\leq 64[/tex]

[tex]\frac{1}{1+2x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+2z}=2\\\Rightarrow \frac{1}{1+2x}=2-\frac{1}{1+2y}-\frac{1}{1+2z}=1-\frac{1}{1+2y}+1-\frac{1}{1+2z}=\frac{2y}{1+2y}+\frac{2z}{1+2z}[/tex]
Vì y>0,z>0 nên 1+2y>0; 1+2z>0
Áp dụng BDT Cô-si cho 2 số không âm có:
[tex]\frac{2y}{1+2y}+\frac{2z}{1+2z}\geq 2\sqrt{\frac{2y}{1+2y}.\frac{2z}{1+2z}}\\\Rightarrow \frac{1}{1+2x}\geq 4\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{(1+2y)(1+2z)}}(1)[/tex]
Tương tự có:
[tex]\frac{1}{1+2y}\geq 4\frac{\sqrt{xz}}{\sqrt{(1+2x)(1+2z)}}(2)\\\frac{1}{1+2z}\geq 4\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{(1+2x)(1+2y)}}(3)[/tex]
Nhân (1) (2) (3) lại ra kết quả