Toán 9 bất đẳng thức

[Thái Vĩnh Đạt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho a,b,c[tex]\geq[/tex]0 và abc=1
CMR: [tex]\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{a+c}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3[/tex]
2)CMR:[tex]1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>2(\sqrt{n+1}-1)(n\epsilon \mathbb{N}^{*},n\geq 2)[/tex]

 

[Tatsuya Kinami]

câu 1
[tex]abc = 1 \Rightarrow √abc=1[/tex]
[tex]\frac{b+c}{√a}+\frac{b+a}{√c}+\frac{a+c}{√b} = √abc (\frac{b+c}{√a}+\frac{b+a}{√c}+\frac{a+c}{√b}) = √bc(b+c)+√ca(c+a)+√ab(b+a)[/tex]
áp dụng bđt Cosi :
[tex]b+c\geq 2√bc \Rightarrow √bc(b+c)\geq 2bc[/tex]
Chứng minh tương tự √ac(a+c)[tex]\geq[/tex] 2ac
√ab(b+a) [tex]\geq[/tex] 2ba
Cộng vế theo vế ta được
√bc(b+c)+√ca(c+a)+√ab(b+a) [tex]\geq[/tex] 2 (ab+bc+ca) (1)
Áp dụng bđt Cosi
ab+bc +ca [tex]\geq 3^3√a^2b^2c^2 = 3[/tex] (2)
Áp dụng bđt x+y+z [tex]\geq[/tex] √xy + √xz + √yz
ab + bc + ca [tex]\geq[/tex] a√bc + b√ca + c√ab = √a + √b + √c (3)
Từ (1) , (2), (3) => ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi : a = b = c

 

[Toan hoc123]

Câu 2: bạn dùng phương pháp quy nạp để chứng minh nhé

 

[Thái Vĩnh Đạt]

Câu 2: bạn dùng phương pháp quy nạp để chứng minh nhé

Bạn chứng minh giúp mình nhé

 

[Toan hoc123]

Bạn chứng minh giúp mình nhé[/QUOTE
[tex]1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>2(\sqrt{n+1}-1)(1)[/tex]
Với n=2, ta có:[tex]1+\frac{1}{2}>0[/tex](đúng)
giả sử (1) đúng với n=k, tức là:[tex]1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}>2(\sqrt{k+1}-1)(1)[/tex]
ta cm (1) đúng với n=k+1
tức 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>2(\sqrt{k+2}-1)
[tex]vì 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}>2(\sqrt{k+1}-1) \\ \Leftrightarrow 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>2(\sqrt{k+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{k+1}} \\cm 2(\sqrt{k+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>2(\sqrt{k+2}-1)(*) \\(*)\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{k+1}}>2(\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}}) \\ mà \sqrt{k+1}<\sqrt{k+2}(với k\geq 2,k\in N^{*}) \\\Rightarrow 2(\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}})<2(\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+1}})=\frac{1}{\sqrt{k+1}}[/tex]
\\ \Rightarrow đccm