bất đẳng thức

[donquanhao_ub]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

\geq1. a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác, cmr:
a, abc \geq(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
b, a3(b2-c2)+b3(c2-a2)+c3(a2-b2) <0 (với a <b <c)
2. Cho a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác và có chu vi là 2
Cmr a2+b2+c2+2abc < 2
3. Với các số tự nhiên n\geq1, cmr
a, [TEX]/frac{1}{2}./frax{2}{3}.../frac{(2n-10)}{2n} [SIZE=2]< \/frac{1}{\sqrt{2n+1}}[/SIZE][/TEX]
b, [TEX]/frac{1}{2}+/frac{1}{3[SIZE=2]\sqrt{2}}+/frac{1}{4\sqrt{3}}+...+/frac{1}{(n+1)\sqrt[/SIZE]{n}} < \ 2[/TEX]
c, [TEX]/frac{1}{2[SIZE=2]\sqrt{n} <\ /frac{1}{2}./frac{2}{3}./frac{3}{4}.../frac{2n-1}{2n} <\ /frac{1}{\sqrt{2n}[/SIZE][/TEX]
4.a,b,c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác vuông, vs c là cạnh huyền.
Cmr a2n+b2n+c2n (n\geq1,n\in N)

 

[kira_l]

\geq1. a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác, cmr:
a, abc \geq(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
b, a3(b2-c2)+b3(c2-a2)+c3(a2-b2) <0 (với a <b <c)
2. Cho a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác và có chu vi là 2
Cmr a2+b2+c2+2abc < 2
3. Với các số tự nhiên n\geq1, cmr
a, [TEX]/frac{1}{2}./frax{2}{3}.../frac{(2n-10)}{2n} [SIZE=2]< \/frac{1}{\sqrt{2n+1}}[/SIZE][/TEX]
b, [TEX]/frac{1}{2}+/frac{1}{3[SIZE=2]\sqrt{2}}+/frac{1}{4\sqrt{3}}+...+/frac{1}{(n+1)\sqrt[/SIZE]{n}} < \ 2[/TEX]
c, [TEX]/frac{1}{2[SIZE=2]\sqrt{n} <\ /frac{1}{2}./frac{2}{3}./frac{3}{4}.../frac{2n-1}{2n} <\ /frac{1}{\sqrt{2n}[/SIZE][/TEX]
4.a,b,c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác vuông, vs c là cạnh huyền.
Cmr a2n+b2n+c2n (n\geq1,n\in N)

đánh lại đi chị ơi ! khó nhìn dữ !

 

[thienthanlove20]

Đề chắc là thế này


1. a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác, cmr:

a, [TEX]abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)[/TEX]

b, [TEX]a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2) <0[/TEX] (với a <b <c)

2. Cho a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác và có chu vi là 2

Cmr [TEX]a^2+b^2+c^2+2abc < 2[/TEX]

3. Với các số tự nhiên n \geq 1, cmr

a, [TEX]\frac{1}{2}.\frac{2}{3}...\frac{(2n-10)}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}[/TEX]

b, [TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}} < 2[/TEX]

c, [TEX]\frac{1}{2\sqrt{n}}< \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n}[/TEX]

4.a,b,c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác vuông, vs c là cạnh huyền.

Cmr [TEX]a^2n+b^2n+c^2n[/TEX] (n \geq 1,n thuộc N)

 

[havy_204]

Đề chắc là thế này


1. a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác, cmr:

a, [TEX]abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)[/TEX]

b, [TEX]a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2) <0[/TEX] (với a <b <c)

2. Cho a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác và có chu vi là 2

Cmr [TEX]a^2+b^2+c^2+2abc < 2[/TEX]

3. Với các số tự nhiên n \geq 1, cmr

a, [TEX]\frac{1}{2}.\frac{2}{3}...\frac{(2n-10)}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}[/TEX]

b, [TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}} < 2[/TEX]

c, [TEX]\frac{1}{2\sqrt{n} < \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n}[/TEX]

4.a,b,c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác vuông, vs c là cạnh huyền.

Cmr [TEX]a^2n+b^2n+c^2n[/TEX] (n \geq 1,n thuộc N)

Bài 2 :
Theo giả thiết ta có:
a+b >c, a +c>b, , c+b>a
và chu vi: a+b+c=2
\Rightarrow(1-a)(1-b)(1-c) >0
\Rightarrow1-( a+b+c)+ab+bc+ca-abc>0 ( do a,b,c<1)
\Leftrightarrow2>2 (a+b+c)-2(ab+cb+ca)+2abc
\Rightarrow2 >[TEX](a+b+c)^2[/TEX]+2abc-2(ab+bc+ca)--------------(1)
thay a+b+c=2 vào (1) ta dc:
[TEX]a^2+b^2+c^2[/TEX]+2abc<2
>>>>>>>>>>>điều phải cm>>>>>>>>

 

[thienthanlove20]

Bài 2:

Giả sử: a \geq b \geq c. Ta có:

[TEX]a < b + c \Rightarrow 2a < a + b + c = 2 \Rightarrow a < 1 \Rightarrow b < 1, c < 1[/TEX]

Từ đó suy ra: [TEX](1-a)(1 - b)(1 - c) > 0[/TEX]. Rút gọn ta đc:

[TEX]ab + bc + ca > 1 + abc[/TEX].......................(1)

Ta lại có: [TEX](a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 4 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)[/TEX].................(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

[TEX]4 > a^2 + b^2 + c^2 + 2(1 + abc)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 4 > a^2 + b^2 + c^2 + 2 + 2abc[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2abc < 2[/TEX]

 

[havy_204]

Đề chắc là thế này


1. a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác, cmr:

a, [TEX]abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)[/TEX]----(*)

ĐẶt ẩn : x=a+b-c
y=b+c-a
z=c+a-b
\Rightarrow a+b= x+c------------------(1)
\Rightarrow b+c=a +y-------------------(2)
\Rightarrowc +a=z+b--------------(3)
Thay vào (*) là ra \Rightarrowdpcm
>>>>>Xong>>>>>>>>>>

 

[thienthanlove20]

bài 1 :

a) Ta có:

[TEX](b + c - a)(b + a - c) = b^2 - (c -a)^2 \leq b^2[/TEX]

[TEX](c + a - b)(c + b - a) = c^2 - (a - b)^2 \leq c^2[/TEX]

[TEX](a + b - c)(a + c - b) = a^2 - (b - c)^2 \leq a^2[/TEX]

Nhân từng vế 3 BĐT trên, ta đc:

[TEX][(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c)]^2 \leq [abc]^2.[/TEX]

Các bt trong dấu ngoặc vuông đều dương nên :

[TEX](b + c - a)(a + c - b)(a + b - c)] \leq abc^2.[/TEX]

Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c

 

[havy_204]

Đề chắc là thế này


3. Với các số tự nhiên n \geq 1, cmr


b, [TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}} < 2[/TEX]

Ta có tính tổng wat: thay k=1 hoặc k=2 ,k=n
\Rightarrow[TEX]\sqrt{k}[/TEX]+[TEX]\sqrt{k+1}[/TEX]\leq2[TEX]\sqrt{k+1}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{1}{k+1}[/TEX]<[TEX]\frac{2\sqrt{k+1}-2\sqrt{k}}{\sqrt{k-1}[/TEX]
nhân 2 vế với [TEX]\sqrt{k}[/TEX]ta dc:
[TEX]\frac{1}{(k+1).(\sqrt{k})}[/TEX]
<2. [TEX]\frac{1}{\sqrt{k}}[/TEX]-[TEX]\frac{1}{\sqrt{k+1}}[/TEX]
>>>>>>>đến đây là xong ròi đó>>>>>>>>

 

[naivebaby181]

1/Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác; a<b<c. CMR:
[tex]a^3(b^2 - c^2) + b^3(c^2 - a^2) + c^3(a^2 - b^2)[/tex] <0 (với a <b <c)

2/ CMR:
[tex]\frac{a^2 + 2007}{\sqrt[2]{a^2 + 1991}} \geq 8[/tex]

gỉai giúp em mấy bài này đi

 

[minsunghyo]

1/Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác; a<b<c. CMR:
[tex]a^3(b^2 - c^2) + b^3(c^2 - a^2) + c^3(a^2 - b^2)[/tex] <0 (với a <b <c)

2/ CMR:
[tex]\frac{a^2 + 2007}{\sqrt[2]{a^2 + 1991}} \geq 8[/tex]

gỉai giúp em mấy bài này đi

1. [tex]a^3(b^2 - c^2) + b^3(c^2 - a^2) + c^3(a^2 - b^2)[/tex]
= [tex]a^3(b^2 - c^2) - b^3[(b^2 - c^2) + (a^2 - b^2)] + c^3(a^2 - b^2)[/tex]
= [tex](b^2 - c^2)( a^3 - b^3) - (a^2 - b^2)( b^3 - c^3)[/tex]
= [tex](a - b)( b - c)( a^2b - bc^2)[/tex]
= [tex]b( a - b)( b - c)( a - c) (a + c)[/tex]
Với a < b < c [TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm

 

[naivebaby181]

còn bài này nữa
[tex]\frac{a^2 + 2007}{\sqrt[2]{a^2 + 1991}} \geq 8[/tex]

CMR:
[tex]a^4 + b^4 + c^4 \geq abc(a + b + c)[/tex]

 

[locxoaymgk]

còn bài này nữa
[tex]\frac{a^2 + 2007}{\sqrt[2]{a^2 + 1991}} \geq 8[/tex]

CMR:
[tex]a^4 + b^4 + c^4 \geq abc(a + b + c)[/tex]

Ta có BDT sau;
[TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx.[/TEX]

Dấu= xảy ra khi [TEX]x=y=z[/TEX]

[TEX] \Rightarrow a^4+b^4+c^4 \geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq ab^2c+ a^2bc+abc^2=abc(a+b+c)[/TEX]

Dấu = xảy ra khi[TEX] a=b=c.[/TEX]

 

[keep_going123]

[tex]\frac{{a}^{2}+2007}{\sqrt{{a}^{2}+1991}}=\frac{{a}^{2}+1991+16}{\sqrt{{a}^{2}+1991}}= \sqrt{{a}^{2}+1991}+ \frac{16}{\sqrt{{a}^{2}+1991}}[/tex]
đặt [tex]x= \sqrt{{a}^{2}+1991}[/tex]
thi ta có [tex]x+\frac{16}{x}\geq 2\sqrt{x.\frac{16}{x}}=8[/tex]

áp dụng bđt thức [tex]{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\geq 2xy+2yz+2xz[/tex]
thì ta có [tex]{a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}\geq{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{2}{c}^{2}+{a}^{2}{c}^{2}[/tex]
áp dung bđt thức[tex]{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\geq xy+yz+xz[/tex] 1 lần nữa

[tex]{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{2}{c}^{2}+{a}^{2}{c}^{2}\geq abc(a+b+c)[/tex]

 

[naivebaby181]

1. [tex]a^3(b^2 - c^2) + b^3(c^2 - a^2) + c^3(a^2 - b^2)[/tex]
= [tex]a^3(b^2 - c^2) - b^3[(b^2 - c^2) + (a^2 - b^2)] + c^3(a^2 - b^2)[/tex]
= [tex](b^2 - c^2)( a^3 - b^3) - (a^2 - b^2)( b^3 - c^3)[/tex]
= [tex](a - b)( b - c)( a^2b - bc^2)[/tex]
= [tex]b( a - b)( b - c)( a - c) (a + c)[/tex]
Với a < b < c [TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm

cho em hỏi bước này [tex](b^2 - c^2)( a^3 - b^3) - (a^2 - b^2)( b^3 - c^3)[/tex]
= [tex](a - b)( b - c) [ (b + c)(a^2 + ab + b^2) - (a + b)(b^2 + bc + c^2) ][/tex]
=[tex](a - b)( b - c)(ba^2 + ab^2 + b^3 + ca^2 + abc + cb^2 - ab^2 - abc - ac^2 - b^3 - b^2c - bc^2)[/tex]
= [tex](a - b)( b - c)(ba^2 + ca^2 - ac^2 - bc^2)[/tex]
thì làm sao ra bước = [tex](a - b)( b - c)( a^2b - bc^2)[/tex] được?

 

[sadist]

Cho em hỏi bài này với
Sử dụng BĐT Cauchy
Cho a,b,c>0 , a+b+c=1
CMR: [tex]\sqrt[]{(4a+1)} +\sqrt[]{(4b+1)} +\sqrt[]{(4c+1)} \leq \sqrt[]{21}[/tex]

 

[locxoaymgk]

cho em hỏi bước này [tex](b^2 - c^2)( a^3 - b^3) - (a^2 - b^2)( b^3 - c^3)[/tex]
= [tex](a - b)( b - c) [ (b + c)(a^2 + ab + b^2) - (a + b)(b^2 + bc + c^2) ][/tex]
=[tex](a - b)( b - c)(ba^2 + ab^2 + b^3 + ca^2 + abc + cb^2 - ab^2 - abc - ac^2 - b^3 - b^2c - bc^2)[/tex]
= [tex](a - b)( b - c)(ba^2 + ca^2 - ac^2 - bc^2)[/tex]
thì làm sao ra bước = [tex](a - b)( b - c)( a^2b - bc^2)[/tex] được?

Ta có: [TEX]a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)[/TEX]
[TEX]= (a - b)( b - c)(ba^2 + ab^2 + b^3 + ca^2 + abc + cb^2 - ab^2 - abc - ac^2 - b^3 - b^2c - bc^2)[/TEX]

[TEX]=(a-b)(b-c)(a^2b+a^2c-c^2a-bc^2)[/TEX]

[TEX]=(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca).[/TEX]

Vì [TEX]0<a<b<c\Rightarrow (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)>0.[/TEX]