Toán 10 Bất đẳng thức

[Thế giới muôn màu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex]a,b,c> 0 \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex]
Giải chi tiết giúp e với ạ

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

[tex]a,b,c> 0 \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex]
Giải chi tiết giúp e với ạ

Ta có:
[tex]\frac{a}{b+c}=\frac{a^2}{a(b+c)}=\frac{a^2}{ab+ac}; \frac{b}{a+c}=\frac{b^2}{ba+bc};\frac{c}{b+a}=\frac{c^2}{bc+ac}\\ \Rightarrow \frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ca+cb}=VT[/tex]
Áp dụng BDdT Cô-si dạng Engel ta có:
[tex]\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ba}+\frac{c^2}{ca+cb}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+ac+bc+ba+ca+cb}=\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}[/tex]
Mà: [tex](a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)[/tex] (cái này dễ chứng minh ak)
[tex]\Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}=\frac{3}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi: [tex]a=b=c=\frac{1}{2}[/tex]