Toán 9 Bất đẳng thức

[Nữ Thần Tự Do]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Chứng minh với a,b,c,d>0 ta có:[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+d^{2}}+\frac{d^{3}}{d^{2}+a^{2}}\geq \frac{a+b+c+d}{2}[/tex]
2.Cho a,b,c [tex]\epsilon R[/tex] thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh [tex]\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq 16[/tex]
3. Cho a,b,c>0 thỏa mãn[tex]a+b+c\leq 3[/tex]. Chứng minh:[tex]\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2012}{ab+bc+ca}\geq 671[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

Câu 2
Rồi, giờ CM

Áp dụng BĐT phụ [tex](a+b)^2\geq 4ab \rightarrow \frac{a+b}{ab}\geq \frac{4}{a+b}\rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} \rightarrow \frac{1}{c}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq \frac{4}{c(a+b)}\rightarrow \frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{4}{c(a+b)}[/tex]
Ta có: [tex]\frac{(a+b+c)^2}{4}\geq \frac{4.(a+b)c}{4}=(a+b)c[/tex] (Cauchy)
[tex]\rightarrow \frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{4}{c(a+b)}\geq \frac{4}{\frac{(a+b+c^2)}{4}}=\frac{4}{\frac{1}{4}}=16(dpcm)[/tex]

Câu 3
Ta có:
[tex]2a^2 +2b^2 +2c^2 - 2ab -2bc -2ac = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 \geq 0[/tex] (luôn đúng)
[tex]\rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac[/tex]
Vì [tex]a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac \rightarrow (a+b+c)^2\geq 3ab+3bc+3ac\rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3[/tex]
[tex]\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2012}{ab+bc+ca}\geq 671=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{2010}{ab+bc+ca}\geq \frac{(1+1+1)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca}+\frac{2010}{3}=\frac{9}{(a+b+c)^2}+670\geq \frac{9}{3^2}+670=1+670=671 (dpcm)[/tex]
Ko hiểu cứ hỏi "D!

 

[Nữ Thần Tự Do]

[TEX][/TEX]

Câu 2
Rồi, giờ CM

Áp dụng BĐT phụ [tex](a+b)^2\geq 4ab \rightarrow \frac{a+b}{ab}\geq \frac{4}{a+b}\rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} \rightarrow \frac{1}{c}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq \frac{4}{c(a+b)}\rightarrow \frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{4}{c(a+b)}[/tex]
Ta có: [tex]\frac{(a+b+c)^2}{4}\geq \frac{4.(a+b)c}{4}=(a+b)c[/tex] (Cauchy)
[tex]\rightarrow \frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{4}{c(a+b)}\geq \frac{4}{\frac{(a+b+c^2)}{4}}=\frac{4}{\frac{1}{4}}=16(dpcm)[/tex]

Câu 3
Ta có:
[tex]2a^2 +2b^2 +2c^2 - 2ab -2bc -2ac = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 \geq 0[/tex] (luôn đúng)
[tex]\rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac[/tex]
Vì [tex]a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac \rightarrow (a+b+c)^2\geq 3ab+3bc+3ac\rightarrow ab+bc+ca\leq [COLOR=#000000]\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3[/COLOR][/tex]
[tex]\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2012}{ab+bc+ca}\geq 671=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{2010}{ab+bc+ca}\geq \frac{(1+1+1)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca}+\frac{2010}{3}=\frac{9}{(a+b+c)^2}+670\geq \frac{9}{3^2}+670=1+670=671 (dpcm)[/tex]
Ko hiểu cứ hỏi "D!

Vì [tex]a+b+c\leq 3 \Rightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\leq \frac{3^{2}}{3}=3[/tex]
như thế này mới đúng chứ nhỉ?
A cho mình hỏi, vì sao [tex]\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca+ab+bc+ca}[/tex]vậy?

 

[Kaito Kidㅤ]

[TEX][/TEX]
Vì [tex]a+b+c\leq 3 \Rightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\leq \frac{3^{2}}{3}=3[/tex]
như thế này mới đúng chứ nhỉ?
A cho mình hỏi, vì sao [tex]\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca+ab+bc+ca}[/tex]vậy?

- Ý bạn là chỗ nào nhỉ
-BĐT Cauchy-Schwarz dạng engel nhé

 

[FOREVER21489416845]

Câu 1:
Áp dụng bđt Cosi ta có:
[tex]a^2+b^2\geq 2ab[/tex]
=>[tex]\frac{a^3}{2ab}\geq\frac{a^2}{2b}[/tex]
Chứng minh tương tự :
[tex]\frac{b^3}{b^2+c^2}\geq\frac{b^2}{2c}[/tex]
[tex]\frac{c^3}{c^2+d^2}\geq\frac{c^2}{2d}[/tex]
[tex]\frac{d^3}{d^2+a^2}\geq\frac{d^2}{2a}[/tex]
Cộng vế theo vế ta được
[tex]VT \geq\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2d}+\frac{d^2}{2a}[/tex]
Áp dụng bđt Svacxo:
[tex]\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2d}+\frac{d^2}{2a}\geq \frac{(a+b+c+d)^2)}{2(a+b+c+d)}=\frac{a+b+c+d}{2}[/tex]
=> ĐPCM )

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Câu 1:
Áp dụng bđt Cosi ta có:
[tex]a^2+b^2\geq 2ab[/tex]
[tex]\frac{a^3}{2ab}=\frac{a^2}{2b}[/tex]
Chứng minh tương tự :
[tex]\frac{b^3}{b^2+c^2}\geq\frac{b^2}{2c}[/tex]
[tex]\frac{c^3}{c^2+d^2}\geq\frac{c^2}{2d}[/tex]
[tex]\frac{d^3}{d^2+a^2}\geq\frac{d^2}{2a}[/tex]
Cộng vế theo vế ta được
[tex][tex]VT \geq\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2d}+\frac{d^2}{2a}[/tex]
Áp dụng bđt Svacxo:
[tex]\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2d}+\frac{d^2}{2a}\geq \frac{(a+b+c+d)^2)}{2(a+b+c+d)}=\frac{a+b+c+d}{2}[/tex]
=> ĐPCM[/tex]

ngược dấu rồi bạn ơi

 

[FOREVER21489416845]

ngược dấu rồi bạn ơi

uk mình nhầm

 

[Nữ Thần Tự Do]

- Ý bạn là chỗ nào nhỉ
-BĐT Cauchy-Schwarz dạng engel nhé

Là chỗ này nè bạn:
Vì [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca\Rightarrow (a+b+c)^{2}\geq 3ab+3bc+3ca\geq ab+bc+ca\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{3^{2}}{3}=3[/tex]

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Là chỗ này nè bạn:
Vì

chỗ đó bạn nhân 2 lên rồi ghép thành hằng đẳng thức
[tex]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\Rightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\geq 0\\\Rightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0[/tex] (đúng)

 

[Nữ Thần Tự Do]

Câu 1:
Áp dụng bđt Cosi ta có:
[tex]a^2+b^2\geq 2ab[/tex]
=>[tex]\frac{a^3}{2ab}\geq\frac{a^2}{2b}[/tex]
Chứng minh tương tự :
[tex]\frac{b^3}{b^2+c^2}\geq\frac{b^2}{2c}[/tex]
[tex]\frac{c^3}{c^2+d^2}\geq\frac{c^2}{2d}[/tex]
[tex]\frac{d^3}{d^2+a^2}\geq\frac{d^2}{2a}[/tex]
Cộng vế theo vế ta được
[tex]VT \geq\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2d}+\frac{d^2}{2a}[/tex]
Áp dụng bđt Svacxo:
[tex]\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2d}+\frac{d^2}{2a}\geq \frac{(a+b+c+d)^2)}{2(a+b+c+d)}=\frac{a+b+c+d}{2}[/tex]
=> ĐPCM )

Bài này mình làm cách khác
Ta chứng minh BĐT [tex]\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{2x-y}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi x=y
Áp dụng BĐT trên ta có
[tex]\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{2};\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{2b-c}{2};\frac{c^{3}}{c^{2}+d^{2}}\geq \frac{2c-d}{2};\frac{d^{3}}{d^{2}+a^{2}}\geq \frac{2d-a}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+d^{2}}+\frac{d^{3}}{d^{2}+a^{2}}\geq \frac{2a-b}{2}+\frac{2b-c}{2}+\frac{2c-d}{2}+\frac{2d-a}{2}=\frac{a+b+c+d}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d
Vậy ta có đpcm

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

[TEX][/TEX]
Vì [tex]a+b+c\leq 3 \Rightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\leq \frac{3^{2}}{3}=3[/tex]
như thế này mới đúng chứ nhỉ?
A cho mình hỏi, vì sao [tex]\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca+ab+bc+ca}[/tex]vậy?

Chỗ đó là $\le$. Còn cái thứ hai là BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel