Toán 8 Bất đẳng thức

[Hàn Thiên_Băng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh: [tex]\frac{a^{2}-c^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}-a^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}-b^{2}}{a+b}\geq 0[/tex] với mọi a,b,c>0

 

[matheverytime]

[tex]\frac{a^2-c^2}{b+c}+c+a+\frac{b^2-a^2}{c+a}+a+b+\frac{c^2-b^2}{a+b}+c+b=\frac{a^2+ab+ac+bc}{b+c}+\frac{b^2+bc+ba+ac}{c+a}+\frac{c^2+ca+cb+ab}{a+b}=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(a+c)(b+c)}{a+b}+\frac{(a+b)(b+c)}{a+c}[/tex]
đặt a+b=x;a+c=y;b+c=z
=>[tex]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}=P[/tex]
=>[tex]P^2=\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{x^2z^2}{y^2}+\frac{y^2z^2}{x^2}+2(x^2+y^2+z^2)\geqslant (x^2+y^2+z^2)+2(x^2+y^2+z^2)=(x^2+y^2+z^2)\geqslant (x+y+z)^2=>P\geqslant x+y+z=2(a+b+c)[/tex]
=>[tex]\frac{a^2-c^2}{b+c}+c+a+\frac{b^2-a^2}{c+a}+a+b+\frac{c^2-b^2}{a+b}+c+b\geqslant 2(a+b+c)=> dpcm[/tex]