Toán 9 Bất đẳng thức

[NoName23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c >0 và a+2b+3c[tex]\geq 20. Tìm GTNN của S= a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

Cho a,b,c >0 và a+2b+3c[tex]\geq 20. Tìm GTNN của S= a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}[/tex]

Từ cái đề -> S=3/a+ 3a/4 + 9/2b +b/2 +4/c +c/4 +a/4 +b/2+3c/4
Ta có
+ 3/a+ 3a/4 >= 2. căn (3/a . 3a/4) = 2. căn (9/4)=2. 3/2=3 ( BDT cauchy)
+ 9/2b +b/2 >= 2. căn (9/2b.b/2) =2. căn (9/4) =2.3/2=3 ( cauchy)
+ 4/c +c/4 >=2 ( BDT phụ a/b+b/a >=2)
-> S=3/a+ 3a/4 + 9/2b +b/2 +4/c +c/4 +a/4 +b/2+3c/4 >= 3+3+2 +1/4(a+2b+3c) >= 8 + 1/4.20=8+5=13
Dấu = sảy da khi a=2 b=3 c=4

 

[Lê Khắc Mạnh Tùng]

a + b + c + 3/a + 9/2b + 4/c
= 4a/4 + 3b/3 + 4c/4 + 3/a + 9/2b + 4/c
= 3a/4 + 3/a + 2b/3 + 9/2b + c/4 + 4/c + a/4 + b/2 + 3c/4
= (3a/4 + 3/a) + (2b/3 + 9/2b) + (c/4 + 4/c) + (a/4 + b/2 + 3c/4)
= (3a/4 + 3/a) + (2b/3 + 9/2b) + (c/4 + 4/c) + (a + 2b + 3c)/4
>= (3a/4 + 3/a) + (2b/3 + 9/2b) + (c/4 + 4/c) + 20/4
= (3a/4 + 3/a) + (2b/3 + 9/2b) + (c/4 + 4/c) + 5
Áp dụng bất đẳng thức cô si:
3a/4 + 3/a >= √(3a/4.3/a) = 3
2b/3 + 9/2b >= √(2b/3.9/2b) = 3
c/4 + 4/c >= √(c/4.4/c) = 2
=> (3a/4 + 3/a) + (2b/3 + 9/2b) + (c/4 + 4/c) >= 3 + 3 + 2 = 8
=> (3a/4 + 3/a) + (2b/3 + 9/2b) + (c/4 + 4/c) + 5 >= 13
=> a + b + c + 3/a + 9/2b + 4/c
Đẳng thức xảy ra khi:
{3a/4 = 3/a
{2b/3 = 9/2b
{c/4 = 4/c
<=> {a = 2
{b = 3
{c = 4.vậy...