Toán 9 bất đẳng thức

Học Trò Của Sai Lầm

Học Trò Của Sai Lầm

Học sinh chăm học
Thành viên
17 Tháng bảy 2018
393
498
66
20
Bình Định
THPT Phù Cát 2
Ta chứng minh [tex](xy+yz+xz)[\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}]\geq 4[/tex]
Không mất tính tổng quát giả sử $z>y\ge x\ge 0$. Đặt [tex]y=x+a;z=x+a+b;a,b>0[/tex]
[tex]P(x,a,b)=[3x^2+2(2a+b)x+a(a+b)][\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(a+b)^2}][/tex]
[tex]P\geq a(a+b)[\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(a+b)^2}]=\frac{a+b}{a}+\frac{a(a+b)}{b^{2}}+\frac{a}{a+b}=1+\frac{b}{a}+\frac{a(a+b)}{b^{2}}+1-\frac{b}{a+b}=2+\frac{a(a+b)}{b^2}+\frac{b^2}{a(a+b)}\geq 4[/tex]
Suy ra GTNN của P là 1 khi [tex]x=0;\frac{y}{z}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex]
 
  • Like
Reactions: mỳ gói
M

mỳ gói

Học sinh tiêu biểu
Thành viên
28 Tháng mười 2017
3,580
6,003
694
Tuyên Quang
THPT NTT
Học Trò Của Sai Lầm said:
Ta chứng minh [tex](xy+yz+xz)[\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}]\geq 4[/tex]
Không mất tính tổng quát giả sử $z>y\ge x\ge 0$. Đặt [tex]y=x+a;z=x+a+b;a,b>0[/tex]
[tex]P(x,a,b)=[3x^2+2(2a+b)x+a(a+b)][\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(a+b)^2}][/tex]
[tex]P\geq a(a+b)[\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(a+b)^2}]=\frac{a+b}{a}+\frac{a(a+b)}{b^{2}}+\frac{a}{a+b}=1+\frac{b}{a}+\frac{a(a+b)}{b^{2}}+1-\frac{b}{a+b}=2+\frac{a(a+b)}{b^2}+\frac{b^2}{a(a+b)}\geq 4[/tex]
Suy ra GTNN của P là 1 khi [tex]x=0;\frac{y}{z}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Dấu bằng có xảy ra đâu ???
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom