Toán 9 Bất đẳng thức

[quynhanhtran1810@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

√a^2+ab + √b^2+bc + √c^2+ca =< √2(a+b+c)

 

[candyiukeo2606]

√a^2+ab + √b^2+bc + √c^2+ca =< √2(a+b+c)

Đề này có phải là chứng minh [tex]\sqrt{a^2 + ab} + \sqrt{b^2 + bc} + \sqrt{c^2 + ac} \leq \sqrt{2}(a + b + c)[/tex] không bạn?
Và có điều kiện gì nữa không? a, b, c có dương không bạn?
Theo như mình thường gặp thì đa số mấy dạng này đều thuộc loại a, b, c là số thực dương và điểm rơi bằng nhau :v Vậy thì [tex]\sqrt{a^2 + ab} = \sqrt{a(a + b)}[/tex] ta sẽ xem như a là 1 thừa số và a + b là 1 thừa số để áp dụng BĐT Cauchy
Nhưng nếu áp dụng Cauchy liền thì điểm rơi sẽ không phải là a = b = c nên ở vế trái bạn nhân với [tex]\sqrt{2}[/tex] để 2 thừa số bằng nhau và từ đó áp dụng Cauchy nhé, những cái tiếp theo cũng tương tự

 

[Thùy Sen]

Đề này có phải là chứng minh [tex]\sqrt{a^2 + ab} + \sqrt{b^2 + bc} + \sqrt{c^2 + ac} \leq \sqrt{2}(a + b + c)[/tex] không bạn?
Và có điều kiện gì nữa không? a, b, c có dương không bạn?
Theo như mình thường gặp thì đa số mấy dạng này đều thuộc loại a, b, c là số thực dương và điểm rơi bằng nhau :v Vậy thì [tex]\sqrt{a^2 + ab} = \sqrt{a(a + b)}[/tex] ta sẽ xem như a là 1 thừa số và a + b là 1 thừa số để áp dụng BĐT Cauchy
Nhưng nếu áp dụng Cauchy liền thì điểm rơi sẽ không phải là a = b = c nên ở vế trái bạn nhân với [tex]\sqrt{2}[/tex] để 2 thừa số bằng nhau và từ đó áp dụng Cauchy nhé, những cái tiếp theo cũng tương tự

Ban ơi bạn giải chi tiết đc k tại mình hơi bị ngu toán

 

[candyiukeo2606]

Ban ơi bạn giải chi tiết đc k tại mình hơi bị ngu toán

Vậy nha, ta có:
VT = A = [tex]\sqrt{a^2 + ab} + \sqrt{b^2 + bc} + \sqrt{c^2 + ac} = \sqrt{a(a + b)} + \sqrt{b(b + c)} + \sqrt{c(c + a)}[/tex]
=> [tex]\sqrt{2}A = \sqrt{2a(a + b)} + \sqrt{2b(b + c)} + \sqrt{2c(c + a)}[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
[tex]\sqrt{2a(a + b)} \leq \frac{2a + a + b}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi 2a = a + b <=> a = b (1)
[tex]\sqrt{2b(b + c)} \leq \frac{2b + b + c}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi 2b = b + c <=> b = c (2)
[tex]\sqrt{2c(c + a)} \leq \frac{2c + c + a}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi 2c = c + a <=> c = a (3)
Từ (1), (2), (3) => [tex]\sqrt{2}A \leq \frac{2a + a + b + 2b + b + c + 2c + c + a}{2} = \frac{4(a + b + c)}{2} = 2(a + b + c)[/tex]
=> [tex]A\leq \sqrt{2}(a + b + c)[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

 

[Thùy Sen]

Vậy nha, ta có:
VT = A = [tex]\sqrt{a^2 + ab} + \sqrt{b^2 + bc} + \sqrt{c^2 + ac} = \sqrt{a(a + b)} + \sqrt{b(b + c)} + \sqrt{c(c + a)}[/tex]
=> [tex]\sqrt{2}A = \sqrt{2a(a + b)} + \sqrt{2b(b + c)} + \sqrt{2c(c + a)}[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
[tex]\sqrt{2a(a + b)} \leq \frac{2a + a + b}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi 2a = a + b <=> a = b (1)
[tex]\sqrt{2b(b + c)} \leq \frac{2b + b + c}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi 2b = b + c <=> b = c (2)
[tex]\sqrt{2c(c + a)} \leq \frac{2c + c + a}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi 2c = c + a <=> c = a (3)
Từ (1), (2), (3) => [tex]\sqrt{2}A \leq \frac{2a + a + b + 2b + b + c + 2c + c + a}{2} = \frac{4(a + b + c)}{2} = 2(a + b + c)[/tex]
=> [tex]A\leq \sqrt{2}(a + b + c)[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Cảm ơn bạn nhiều nha