Cần chứng minh $x + y + z \leq 3$
Ta có:
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)[(x - y)^2 + xy] \geq xy(x + y)$ (do $(x - y)^2 \geq 0$)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
Tương tự => $y^3 + z^3 \geq yz(y + z)$
Dấu "=" <=> y = z
$x^3 + z^3 \geq xz(x + z)$
Dấu "=" <=> x = z
=> $2(x^3 + y^3 + z^3) \geq xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z)$
=> $3(x^3 + y^3 + z^3) \geq (x^2 + y^2 + z^2)(x + y + z)$ (Thêm $x^3 + y^3 + z^3$ vào 2 vế để phân tích VP thành nhân tử) (*)
Ta có:
$x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + xz$
=> $3(x^2 + y^2 + z^2) \geq (x +y + z)^2$
=> $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$ <=> $(x^2 + y^2 + z^2)(x+y+z) \geq \frac{(x+y+z)^3}{3}$ (**)
Từ (*), (**) => $3(x^3 + y^3 + z^3) \geq \frac{(x+y+z)^3}{3}$
=> $(x+y+z)^3 \leq 27$ <=> $x + y + z \leq 3$
$P = 3(xy + yz + xz) - xyz = xy(3 - z) + 3z(x + y)$
[tex]\leq \frac{(3 - z)(x + y)^2}{4} + 3z(3 - z)[/tex] (Sử dụng BĐT Cauchy cho xy và [tex]x + y \leq 3 - z[/tex])
$\leq \frac{(3 - z)^3}{4} + 3z(3 - z)$
[tex]= (3 - z)[\frac{(3 - z)^2}{4} + 3z][/tex]
$ = (3 - z)\frac{(3 + z)^2}{4}$
$\frac{(3 - z + \frac{3 + z}{2} + \frac{3 + z}{2})^3}{3^3}$ (Sử dụng BĐT Cauchy cho 3 số)
= 8
Dấu "=" xảy ra <=> $3 - z = \frac{3 + z}{2}$ <=> z = 1
Vậy Max P = 8 <=> x = y = z = 1[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
