cho a,b,c >0 và [tex]a+b+c\leq \frac{3}{2}[/tex] tìm giá trị nhỏ nhất của S = [tex]\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}[/tex]
Cách 1:
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
[tex](1^{2}+4^{2})\left ( a^{2}+\frac{1}{b^{2}} \right )\geq (a+\frac{4}{b})^{2}\\\Rightarrow \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left ( a+\frac{4}{b} \right )[/tex]
Tương tự...
Suy ra
[tex]S=\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\\\geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left ( a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c} \right )\\\geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left ( a+b+c+\frac{36}{a+b+c} \right )\\=\frac{1}{\sqrt{17}}\left [ \left ( (a+b+c)+\frac{9}{4(a+b+c)} \right )+\frac{135}{4(a+b+c)}\right ]\\\geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left ( 2\sqrt{ (a+b+c).\frac{9}{4(a+b+c)}}+\frac{135}{4.\frac{3}{2}} \right )\\=\frac{3\sqrt{17}}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{1}{2}[/tex]
Cách 2: Áp dụng BĐT Minkowski ( mình sẽ không hướng dẫn cách này vì nó phải chứng minh BĐT Minkovski )
Bạn có thể tự nghiên cứu nhé.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
