Toán 9 Bất đẳng thức

[ngochaad]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: CM với mọi a, b, c,d,e
a, [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\geq a(b+c+d+e)[/tex]
b, [tex]a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq abc(a+b+c)[/tex]
Bài 2: CM ; [tex]x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1\geq 0[/tex]
Bài 3: CM với a> 0
[tex]\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{5(a^{2}+1)}{2a}\geq \frac{11}{2}[/tex]

 

[baogiang0304]

Bài 2:[tex]x^{4}-2x^{3}+2x^{3}-2x+1\geq 0[/tex] =>[tex](x^{4}-2x^{3}+x^{2})+(x^{2}-2x+1)\geq 0[/tex]
=>[tex]x^{2}.(x^{2}-2x+1)+(x^{2}-2x+1)\geq0[/tex]
=>[tex](x^{2}+1).(x-1)^{2}\geq 0[/tex](luôn đúng)
Bài 1:a)[tex]\frac{a^{2}}{4}+b^{2}\geq ab;\frac{a^{2}}{4}+c^{2}\geq ac;\frac{a^{2}}{4}+d^{2}\geq ad;\frac{a^{2}}{4}+e^{2}\geq ae[/tex]
=>[tex]4.\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\geq ab+ac+ad+ae[/tex]
=>[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\geq a.(b+c+d+e)[/tex]

 

[Ann Lee]

Bài 1: CM với mọi a, b, c,d,e
a, [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\geq a(b+c+d+e)[/tex]
b, [tex]a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq abc(a+b+c)[/tex]

a) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}$
$=(\frac{a^{2}}{4}+b^{2})+(\frac{a^{2}}{4}+c^{2})+(\frac{a^{2}}{4}+d^{2})+(\frac{a^{2}}{4}+e^{2})$
$\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}.b^{2}}+2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}.c^{2}}+2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}.d^{2}}+2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}.e^{2}}$(áp dụng BĐT Cauchy)
$=ab+ac+ad+ae$
$=a(b+c+d+e)$
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow \frac{a}{2}=b=c=d=e[/tex]
b) [tex]a^{4}+b^{4}\geq 2\sqrt{a^{4}b^{4}}=2a^{2}b^{2}[/tex] (áp dụng BĐT Cauchy)
Tương tự:...
Suy ra [tex]a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{2}b^2+b^2c^2+c^2a^2[/tex] (1)
[tex]a^{2}b^2+b^2c^2\geq 2\sqrt{a^{2}b^2b^2c^2}=2ab^{2}c[/tex](áp dụng BĐT Cauchy)
Tương tự:...
Suy ra [tex]a^{2}b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq ab^2c+abc^2+a^2bc=abc(a+b+c)[/tex] (2)
Từ (1),(2) suy ra đpcm
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c[/tex]

Bài 3: CM với a> 0
[tex]\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{5(a^{2}+1)}{2a}\geq \frac{11}{2}[/tex]

$\frac{a}{a^2+1}+\frac{5(a^2+1)}{2a}$
$=\frac{10a}{a^2+1}+\frac{5(a^2+1)}{2a}-\frac{9a}{a^2+1}$
$\geq 2\sqrt{\frac{10a}{a^2+1}.\frac{5(a^2+1)}{2a}}-\frac{9a}{2\sqrt{a^{2}.1}}$ (áp dụng BĐT Cauchy)
$=10-\frac{9a}{2a}=\frac{11}{2}$
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=1[/tex]

 

[ngochaad]

a) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}$
$=(\frac{a^{2}}{4}+b^{2})+(\frac{a^{2}}{4}+c^{2})+(\frac{a^{2}}{4}+d^{2})+(\frac{a^{2}}{4}+e^{2})$
$\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}.b^{2}}+2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}.c^{2}}+2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}.d^{2}}+2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}.e^{2}}$(áp dụng BĐT Cauchy)
$=ab+ac+ad+ae$
$=a(b+c+d+e)$
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow \frac{a}{2}=b=c=d=e[/tex]
b) [tex]a^{4}+b^{4}\geq 2\sqrt{a^{4}b^{4}}=2a^{2}b^{2}[/tex] (áp dụng BĐT Cauchy)
Tương tự:...
Suy ra [tex]a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{2}b^2+b^2c^2+c^2a^2[/tex] (1)
[tex]a^{2}b^2+b^2c^2\geq 2\sqrt{a^{2}b^2b^2c^2}=2ab^{2}c[/tex](áp dụng BĐT Cauchy)
Tương tự:...
Suy ra [tex]a^{2}b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq ab^2c+abc^2+a^2bc=abc(a+b+c)[/tex] (2)
Từ (1),(2) suy ra đpcm
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c[/tex]


$\frac{a}{a^2+1}+\frac{5(a^2+1)}{2a}$
$=\frac{10a}{a^2+1}+\frac{5(a^2+1)}{2a}-\frac{9a}{a^2+1}$
$\geq 2\sqrt{\frac{10a}{a^2+1}.\frac{5(a^2+1)}{2a}}-\frac{9a}{2\sqrt{a^{2}.1}}$ (áp dụng BĐT Cauchy)
$=10-\frac{9a}{2a}=\frac{11}{2}$
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=1[/tex]

cảm ơn ak