Toán 9 Bất Đẳng Thức

[Nguyen Nhat]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c > 0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a^{3}}{(2a^{2}+b^{2})(2a^{2}+c^{2})} + \frac{b^{3}}{(2b^{2}+c^{2})(2b^{2}+a^{2})} + \frac{c^{3}}{(2c^{2}+a^{2})(2c^{2}+b^{2})} \leq \frac{1}{3}[/tex]

 

[Ann Lee]

Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
[tex](2a^{2}+b^{2})(2a^{2}+c^{2})=(a^{2}+b^{2}+a^{2})(a^{2}+a^{2}+c^{2})\geq (a^{2}+ab+ac)^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a^{3}}{(2a^{2}+b^{2})(2a^{2}+c^{2})} \leq \frac{a^{3}}{(a^{2}+ab+ac)^{2}}=\frac{a}{(a+b+c)^{2}}[/tex]
Tương tự:.....
Cộng 3 BĐT cùng chiều trên ta được
[tex]\frac{a^{3}}{(2a^{2}+b^{2})(2a^{2}+c^{2})} + \frac{b^{3}}{(2b^{2}+c^{2})(2b^{2}+a^{2})} + \frac{c^{3}}{(2c^{2}+a^{2})(2c^{2}+b^{2})}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^{2}}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{3}[/tex] (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1