[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Toán 9 Bất đẳng thức
- Thread starter Lương Nguyễn Đỉnh
- Ngày gửi
- Replies 1
- Views 214
-
- Tags
- câu 1
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Bài BĐT
$\frac{2}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2}{y^{2}+z^{2}}+\frac{2}{z^{2}+x^{2}}$
$=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{z^{2}+x^{2}}$ ( vì $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ )
$=3+\frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}+x^{2}}$
$\leq 3+\frac{z^{2}}{2xy}+\frac{x^{2}}{2yz}+\frac{y^{2}}{2zx}$ ( áp dụng BĐT AM-GM cho mẫu)
$=3+\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{2xyz}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex]
$\frac{2}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2}{y^{2}+z^{2}}+\frac{2}{z^{2}+x^{2}}$
$=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{z^{2}+x^{2}}$ ( vì $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ )
$=3+\frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}+x^{2}}$
$\leq 3+\frac{z^{2}}{2xy}+\frac{x^{2}}{2yz}+\frac{y^{2}}{2zx}$ ( áp dụng BĐT AM-GM cho mẫu)
$=3+\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{2xyz}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex]
