Cho x,y>0 tm: x^2+y^2=1
Tìm MIN A=x^3+y^3
$A=x^{3}+y^{3} \Leftrightarrow 4A\sqrt{2}+2=4x^{3}\sqrt{2}+4y^{3}\sqrt{2}+2=(2x^{3}\sqrt{2}+ 2x^{3}\sqrt{2}+1)+(2y^{3}\sqrt{2}+ 2y^{3}\sqrt{2}+1)$
Áp dụng Bất đẳng thức $Cauchy$$,$ ta có $:$
$4A\sqrt{2}+2 \geq 3\sqrt[3]{2x^{3}\sqrt{2}. 2x^{3}\sqrt{2}.1}+ 3\sqrt[3]{2y^{3}\sqrt{2}. 2y^{3}\sqrt{2}.1}=3.2x^{2}+3.2y^{2}=6x^{2}+6y^{2}=6(x^{2}+y^{2})=6.1=6$
$\Leftrightarrow 4A\sqrt{2} \geq 6-2=4 \Leftrightarrow A\sqrt{2} \geq \frac{4}{4}=1 \Leftrightarrow A \geq \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y \\ x^{2}+y^{2}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy $A_{Min}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2} $
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
