Toán 9 Bất đẳng thức

[Nguyen152003]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2 số thực dương a, b, có ab=1
CMR [tex]\frac{a^3}{1+b^2}+ \frac{b^3}{1+a^2}\geq 1[/tex]

 

[Ann Lee]

Cho 2 số thực dương a, b, có ab=1
CMR [tex]\frac{a^3}{1+b^2}+ \frac{b^3}{1+a^2}\geq 1[/tex]

$\frac{a^{3}}{1+b^{2}}+\frac{b^{3}}{1+a^{2}}$
$= \frac{a^{4}}{a+ab^{2}}+\frac{b^{4}}{b+a^{2}b}$
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{a+ab^{2}+b+a^{2}b}$ ( áp dụng BĐT Svacxo)
$=\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{(a+b)+ab(a+b)}$
$=\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2(a+b)}$ ( vì ab=1)
$=\frac{[2(a^{2}+b^{2})]^{2}}{8(a+b)}$
$\geq \frac{[(a+b)^{2}]^{2}}{8(a+b)}$ ( áp dụng BĐT phụ $2(a^{2}+b^{2})\geq(a+b)^{2}$ )
$=\frac{(a+b)^{3}}{8}$
$\geq \frac{(2\sqrt{ab})^{3}}{8}$ ( áp dụng BĐT AM-GM)
$=\frac{8}{8}=1$
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=1