Toán 9 Bất đẳng thức

[lê trà my]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số dương a b c thỏa man ab+bc+ac=3 CMR a^3/(b^2+3)+b^3/(c^2+3)+c^3/(a^2+3)>=3/4

 

[Ann Lee]

Cho 3 số dương a b c thỏa man ab+bc+ac=3 CMR a^3/(b^2+3)+b^3/(c^2+3)+c^3/(a^2+3)>=3/4

Viết lại đề:
Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ac=3. Chứng minh $$\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{3}}{a^{2}+3}\geq \frac{3}{4}$$
___________
+)Ta có:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{3}}{a^{2}+3}$
$$=\frac{a^{3}}{b^{2}+ab+bc+ca}+\frac{b^{3}}{c^{2}+ab+bc+ca}+\frac{c^{3}}{a^{2}+ab+bc+ca}$$
$$=\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{b^{3}}{(c+b)(c+a)}+\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}$$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có"
$$\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{b+a}{8}+\frac{b+c}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}.\frac{b+a}{8}.\frac{b+c}{8}}=\frac{3}{4}a$$
Tương tự:

• $$\frac{b^{3}}{(c+a)(b+c)}+\frac{c+a}{8}+\frac{b+c}{8}\geq\frac{3}{4}b$$
  
• $$\frac{c^{3}}{(c+a)(b+a)}+\frac{c+a}{8}+\frac{b+a}{8}\geq\frac{3}{4}c$$

Cộng vế với vế b BĐT trên được
$\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{b^{3}}{(c+b)(c+a)}+\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)$
$\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{b^{3}}{(c+b)(c+a)}+\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)$ (1)
+) Dễ chứng minh được: $$(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$$ ( có thể chứng minh bằng phép biến đổi tương đương)
$$\Rightarrow a+b+c\geq 3$$ (2)
+) Từ (1) và (2) suy ra $$\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{3}}{a^{2}+3}\geq \frac{3}{4}$$ (đpcm)
Dẳng thức xảy ra $$\Leftrightarrow a=b=c=1$$