Cho 3 số dương a b c thỏa man ab+bc+ac=3 CMR a^3/(b^2+3)+b^3/(c^2+3)+c^3/(a^2+3)>=3/4
Viết lại đề:
Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ac=3. Chứng minh [tex]\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{3}}{a^{2}+3}\geq \frac{3}{4}[/tex]
___________
+)Ta có:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{3}}{a^{2}+3}$
[tex]=\frac{a^{3}}{b^{2}+ab+bc+ca}+\frac{b^{3}}{c^{2}+ab+bc+ca}+\frac{c^{3}}{a^{2}+ab+bc+ca}[/tex]
[tex]=\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{b^{3}}{(c+b)(c+a)}+\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}[/tex]
Áp dụng BĐT AM-GM ta có"
[tex]\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{b+a}{8}+\frac{b+c}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}.\frac{b+a}{8}.\frac{b+c}{8}}=\frac{3}{4}a[/tex]
Tương tự:
- [tex]\frac{b^{3}}{(c+a)(b+c)}+\frac{c+a}{8}+\frac{b+c}{8}\geq\frac{3}{4}b[/tex]
- [tex]\frac{c^{3}}{(c+a)(b+a)}+\frac{c+a}{8}+\frac{b+a}{8}\geq\frac{3}{4}c[/tex]
Cộng vế với vế b BĐT trên được
$\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{b^{3}}{(c+b)(c+a)}+\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)$
$\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{b^{3}}{(c+b)(c+a)}+\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)$ (1)
+) Dễ chứng minh được: [tex](a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)[/tex] ( có thể chứng minh bằng phép biến đổi tương đương)
[tex]\Rightarrow a+b+c\geq 3[/tex] (2)
+) Từ (1) và (2) suy ra [tex]\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{3}}{a^{2}+3}\geq \frac{3}{4}[/tex] (đpcm)
Dẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=1[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
