Toán 9 Bất đẳng thức

[you only live once]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c là các số tm đk [tex]a\geq 1;b\geq 1;c\geq 1[/tex]
cm[tex]\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+\frac{4ab}{1+ab}+\frac{4bc}{1+bc}+\frac{4ac}{1+ac}[/tex] [tex]\geq 9[/tex]
thanks m.n ak

 

[Ann Lee]

cho a,b,c là các số tm đk [tex]a\geq 1;b\geq 1;c\geq 1[/tex]
cm[tex]\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+\frac{4ab}{1+ab}+\frac{4bc}{1+bc}+\frac{4ac}{1+ac}[/tex] [tex]\geq 9[/tex]
thanks m.n ak

BĐT cần chứng minh [tex]\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2a-1}+\sum \frac{4(1+ab)-4}{1+ab}\geq 9[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2a-1}+12+\sum \frac{-4}{1+ab}\geq 9[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2a-1}+3\geq \frac{4}{1+ab}[/tex]
Áp dụng BĐT phụ [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex] với x,y>0 ta có:
[tex]\sum \frac{1}{2a-1}+3=\sum (\frac{1}{2a-1}+1)\geq \sum \frac{4}{2a-1+1}=\sum \frac{2}{a}= \sum (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq \sum \frac{4}{a+b}[/tex] (*)
Vì [tex]a\geq 1;b\geq 1\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b\Rightarrow \frac{4}{a+b}\geq \frac{4}{ab+1}[/tex]
Tương tự:....
[tex]\Rightarrow \sum \frac{4}{a+b}\geq \frac{4}{ab+1}[/tex] (**)
Từ (*) và (**) suy ra [tex]\sum \frac{1}{2a-1}+3\geq \frac{4}{ab+1}[/tex] hay (1) luôn đúng
=> BĐT được c/m
Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=1[/tex]