Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c =3
Chứng Minh BĐT sau
[tex]\frac{a^2}{a + 2b^2}+ \frac{b^2}{b + 2c^2}+ \frac{c^2}{c + 2a^2}\geq 1[/tex]
+) [tex]\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}=a-\frac{2ab^{2}}{a+2b^{2}}=a-\frac{2ab^{2}}{a+b^{2}+b^{2}}\geq a-\frac{2ab^{2}}{3\sqrt[3]{ab^{4}}}=a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}[/tex] (BĐT AM-GM)
Tương tự: [tex]\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}\geq b-\frac{2}{3}\sqrt[3]{b^{2}c^{2}};\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geq c-\frac{2}{3}\sqrt[3]{c^{2}a^{2}}[/tex]
$\Rightarrow VT\geq a+b+c-\frac{2}{3}[\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}+\sqrt[3]{b^{2}c^{2}}+\sqrt[3]{c^{2}a^{2}}]$ (1)
+) Có: [tex](a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3[/tex]
[tex]a+ab+b\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}[/tex]
[tex]b+cb+c\geq 3\sqrt[3]{b^{2}c^{2}}[/tex]
[tex]c+ca+a\geq 3\sqrt[3]{c^{2}a^{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt[3]{a^{2}b^{2}}+\sqrt[3]{b^{2}c^{2}}+\sqrt[3]{c^{2}a^{2}}\leq \frac{a+ab+b+b+bc+c+c+ca+a}{3}=\frac{2(a+b+c)+ab+bc+ca}{3}\leq \frac{2.3+3}{3}=3[/tex] (2)
+) Từ (1) và (2) suy ra [tex]VT\geq 3-\frac{2}{3}.3=1[/tex] (đpcm)
Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=1[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
