Toán Bất đẳng thức

[PDK Films]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CM:[tex]\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}<5[/tex]
Bài 2:Cho a,b,c>0 và a+b+c+ab+bc+ca=6.CMR[tex]\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3[/tex]

 

[Phan Tú Anh]

Bài 1 :
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số a,b,c không âm ta có :
[tex]\frac{4a+1+1}{2} \geq \sqrt{4a+1}[/tex] <=> [tex]2a+1\geq \sqrt{4a+1}[/tex]
Do a> 0 nên [tex]2a+1 > \sqrt{4a+1}[/tex]
Tương tự : [tex]2b+1 > \sqrt{4b+1}[/tex]
[tex]2c+1 > \sqrt{4c+1}[/tex]
=> [tex]\sqrt{4a+1} + \sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}< 2a+2b+2c+1+1+1[/tex]
<=>[tex]\sqrt{4a+1} [/tex]+ [tex]\sqrt{4b+1}[/tex] + [tex]\sqrt{4c+1}[/tex] < 5 ( do a+b+c =1) (đpcm)

 

[Phan Tú Anh]

Bài 2:
+ Cm BĐT [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac[/tex] (1)
Áp dụng BĐT cô- si cho các số không âm ta có:
[tex]\frac{a^{3}}{b} + ab \geq 2a^{2}[/tex]
Tương tự : [tex]\frac{b^{3}}{c} + bc \geq 2b^{2}[/tex]
[tex]\frac{c^{3}}{a} + ac \geq 2c^{2}[/tex]
=>[tex]\frac{a^{3}}{b}+ \frac{b^{3}}{c}+ \frac{c^{3}}{a}[/tex] [tex]\geq[/tex] [tex]2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-ab-ac-bc[/tex] (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
<=> [tex]\frac{a^{3}}{b}+ \frac{b^{3}}{c}+ \frac{c^{3}}{a}[/tex] [tex]\geq[/tex] [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}[/tex] (đpcm) ( *)
+ Ta có [tex]2a^{2}+2b^{2}+2c^{2} \geq 2ab+2bc+2ac[/tex]
và [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\geq 2a+2b+2c[/tex]
Cộng 2 vế trên ta được :
<=>[tex]3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}+3\geq 2ab+2bc+ 2ac +2a+2b+2c[/tex]
<=> [tex]3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}+3 [tex]\geq 12[/tex]
<=> [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3( đpcm) ( **) Từ (*) và (**) => [tex]\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3[/tex]

 

[hoanhkspl@gmail.com]

tìm min A=[tex]\sqrt(x^2 + \frac{8}{x})[/tex]

 

[hoanhkspl@gmail.com]

ai giúp mình bài này vs

 

[hoanhkspl@gmail.com]

help me bài này với huhu

 

[Ann Lee]

tìm min A=[tex]\sqrt(x^2 + \frac{8}{x})[/tex]

ĐKXĐ: [tex]x>0;x\leq -2[/tex]
Xét x>0 thì [tex]A=\sqrt{x^{2}+\frac{4}{x}+\frac{4}{x}}\geq \sqrt{3\sqrt[3]{x^{2}.\frac{4}{x}.\frac{4}{x}}}=\sqrt{3\sqrt[3]{16}}[/tex] (BĐT Cauchy cho 3 số dương)
Xét x=-2 thì A=0
Xét x<-2 thì [tex]x^{2}>4; \frac{8}{x}> \frac{8}{-2}\Rightarrow x^{2}+\frac{8}{x}>4+\frac{8}{-2}=0\Rightarrow A>0[/tex]
So sánh 3 trường hợp => A có GTNN là 0 khi x=-2