bất đẳng thức !

[dandoh221]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c > 0. a +b +c = 3
CM : [TEX]\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
Lâu rồi ko lên hocmai. mong mọi người ủng hộ

 

[dandoh221]

sao ko ai giải cả. đi đâu hết rồi ............................... :-??

 

[tuananh8]

Cho a,b,c > 0. a +b +c = 3
CM : [TEX]\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
Lâu rồi ko lên hocmai. mong mọi người ủng hộ

dùng cô-si ngược dấu:

[TEX]\frac{a}{b^2+1}= \frac{(ab^2+a)-ab^2}{b^2+1}=a- \frac{ab^2}{b^2+1} \geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/TEX] (vì [TEX] b^2+1 \geq 2\sqrt[]{b^2}=2b)[/TEX]

Tương tự với [TEX] \frac{b}{c^2+1}[/TEX] và [TEX] \frac{c}{a^2+1}[/TEX] ta được:

[TEX] \frac{b}{c^2+1} \geq b-\frac{bc}{2}[/TEX]; [TEX] c-\frac{c}{a^2+1} \geq \frac{ac}{2}[/TEX]

cộng 3 vế ba BĐT trên ta được [TEX] \frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+ \frac{c}{a^2+1} \geq (a+b+c)- \frac{ab+bc+ca}{2}[/TEX]

Mà [TEX] ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3 \Rightarrow -(ab+bc+ca) \geq -3[/TEX]

[TEX] \Rightarrow \frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+ \frac{c}{a^2+1} \geq (a+b+c)- \frac{ab+bc+ca}{2} \geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}[/TEX] (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi [TEX] a=b=c=3[/TEX].