Toán Bất đẳng thức

[maitrangnghihoa5@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu hỏi ở đây ạ

 

[Ann Lee]

Câu hỏi ở đây ạView attachment 44395

Phiền bạn lần sau đăng ảnh xuôi cho anh em dễ đọc, đọc đề như này vẹo cổ mất :v
[tex]\frac{a+1}{1+b^{2}}=\frac{(a+1)(1+b^{2})-ab^{2}-b^{2}}{1+b^{2}}=a+1-\frac{b^{2}(a+1)}{b^{2}+1}\geq a+1-\frac{b^{2}(a+1)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}[/tex] (BĐT Cauchy)
Tương tự:....
Cộng vế với vế các BĐT vừa tạo được
[tex]\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}=6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}[/tex] (vì a+b+c=3)
BĐT phụ: [tex](a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)[/tex] ( chứng minh bằng biến đổi tương đương) [tex]\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3[/tex]
[tex]\Rightarrow\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\geq 6-\frac{3+3}{2}=3[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại $a=b=c=1$