Toán Bất đẳng thức

[Hoàng Vũ Nghị]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3.Tìm k >0 bé nhất sao cho
[tex]\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}\leq 3k[/tex]

 

[Ann Lee]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3.Tìm k >0 bé nhất sao cho
[tex]\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}\leq 3k[/tex]

Áp dụng BĐT phụ quen thuộc: với x,y không âm có: [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex] ( Chứng minh bằng biến đổi tương đường hoặc dùng BĐT Cauchy)
[tex]\frac{ab}{a+b+2c}=\frac{ab}{4}.\frac{4}{(a+c)+(b+c)}\leq \frac{ab}{4}.(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})=\frac{1}{4}.(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})[/tex]
CMTT được: VT [tex]\leq \frac{1}{4}.(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{a+b})=\frac{1}{4}.(a+b+c)=\frac{3}{4}[/tex]
=> k=1/4 (thỏa mãn)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1