Toán Bất đẳng thức

[hoanglop7amt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh BĐT với x, y, z > 0
[tex]\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}[/tex] [tex]\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}[/tex]

 

[hothanhvinhqd]

bạn nhân 2 lên chuyển vế rồi áp dụng bđt

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

Chứng minh BĐT với x, y, z > 0
[tex]\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}[/tex] [tex]\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}[/tex]

ta có:
[tex]\frac{x^{2}}{y^{2}}+1\geq 2.\frac{x}{y} \\\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}\geq 2.\frac{x}{y}-1[/tex]
tương tự, rồi cộng vế theo vế ta có:
[tex]VP\geq 2.\frac{x}{y}+ 2.\frac{y}{z} +2.\frac{z}{x}-3 =(\frac{x}{y}+\frac{y}{z} +\frac{z}{x})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{z} +\frac{z}{x}-3)[/tex]
dến dây, ta cm cho:
[tex]\frac{x}{y}+\frac{y}{z} +\frac{z}{x}-3\geq 0[/tex]
điều này hiển nhiên đúng do
[tex]\frac{x}{y}+\frac{y}{z} +\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z} .\frac{z}{x}}=3[/tex]
từ dây có ĐPCM
dấu "=" xảy ra khi x=y=z>0