Toán Bất đẳng thức

[candyiukeo2606]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.
Tìm Min A = [tex]\frac{a}{1 + a^2} + \frac{b}{1 + b^2} + \frac{c}{1 + c^2} + \frac{1}{9abc}[/tex]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Biến đổi áp dụng Cauchy-Schawz ta có:
$A=\dfrac{a^2}{a+a^3}+\dfrac{b^2}{b+b^3}+\dfrac{c^2}{c+c^3}+\dfrac{1}{90abc}+\dfrac{1}{10abc}
\\\geq \dfrac{(a+b+c+1)^2}{a+b+c+(a^3+b^3+c^3+24abc)+66abc}+\dfrac{1}{10abc}
\\\geq \dfrac{(a+b+c+1)^2}{a+b+c+(a+b+c)^3+66.\dfrac{(a+b+c)^3}{27}}+\dfrac{1}{10.\dfrac{(a+b+c)^3}{27}}
\\=\dfrac{39}{10}$
Dấu '=' khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$.
Chỗ kia là em chứng minh : $a^3+b^3+c^3+24abc \leq (a+b+c)^3$ nhé. Cái này khá đơn giản em biến đổi tương đương rồi C-S là cm được cái bổ đề này nhé. Tự làm bổ đề này coi như là bài tập hơ :v.
P/s: Có gì không hỏi thì hiểu nhé :v. Nhầm có gì không hiểu thì hỏi :v. Tên tài khoản đẹp anh mới giúp đấy :v r104