Toán Bất đẳng thức

[lean0803]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho [tex]a,b,c,d > 0[/tex] . Chứng minh
[tex]\frac{a+c}{a+b} + \frac{b+d}{b+c} + \frac{c+a}{c+d} + \frac{d+b}{d+a} \geq 4[/tex]
Bài 2: Chứng minh [tex](\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2})^{2}\geq (a+c)(b+d)[/tex]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 1:
$\dfrac{a+c}{a+b}
\\=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{a+b}
\\=\dfrac{a^2}{a^2+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}$
Tương tự với các phân số còn lại và áp dụng bđt Cauchy-schawz dạng engel ta sẽ có: (Đặt biểu thức đó là $P$)
$P \geq \dfrac{(2a+2b+2c+2d)^2}{a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd}
\\=\dfrac{4(a+b+c+d)^2}{(a+b+c+d)^2}=4(dpcm)$
Bài 2:
Đặt $a+c=x,b+d=y$
Khi đó đpcm.
$(\dfrac{a+b+c+d}{2})^2 \geq (a+c)(b+d)
\\\Rightarrow(\dfrac{a+c}{2}+\dfrac{b+d}{2})^2 \geq (a+c)(b+d)
\\\Rightarrow (\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2})^2 \geq xy
\\\Rightarrow (x+y)^2 \geq 4xy
\\\Rightarrow x^2-2xy+y^2 \geq 0
\\\Rightarrow (x-y)^2 \geq 0$.
Điều này hiển nhiên đúng do đó ta có dpcm.