Đặt lại biên:
$\dfrac{1}{1+x}=a,\dfrac{1}{1+y}=b,\dfrac{1}{1+z}=c$.
Khi đó $x=\dfrac{1}{a}-1$ thay vào điều phải chứng minh:
$\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-3}{2}+ \sum \dfrac{2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}
\\\geq \dfrac{ab+bc+ca}{2abc}-\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{\sum \dfrac{a}{1-a}}
\\\geq \dfrac{3\sqrt[3]{(abc)^2}}{2abc}-\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{\sum \dfrac{a}{1-a}}
\\\geq \dfrac{3}{2\sqrt[3]{abc}}-\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{\sum \dfrac{a}{1-a}}$
Ta sẽ tìm max của $\sqrt[3]{abc}$ và max của $\sum \dfrac{a}{1-a}$ với $a+b+c=\dfrac{3}{2}$.
max của $abc$ thì dễ rồi áp dụng C-S: $abc \leq \dfrac{(a+b+c)^3}{27}=\dfrac{1}{8} \\\Rightarrow \sqrt[3]{(abc)} \leq \dfrac{1}{2}$
Giờ ta sẽ tìm max của $\sum \dfrac{a}{1-a}$.
Ta có:
$\sum \dfrac{a}{1-a}
\\=-(\sum \dfrac{a-1+1}{a-1})
\\=-(\sum 1+\dfrac{1}{a-1})
\\\leq -(3+\dfrac{9}{a+b+c-3})
\\=3$
Do đó: $P \geq \dfrac{9}{2}$(dpcm)
Dấu '=' khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$
Hay $x=y=z=1$.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
