Ta có :
Vì x+y+z=2016
Suy ra
Bạn quy đồng sai dẫn đến cách giải cũng sai.
Cho x,y,z>0 và x+y+z = 2016. Chứng minh rằng
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương [tex]\small \dpi{150} \frac{x^{2}}{y}[/tex] và y ([tex]\small \dpi{150} x,y,z> 0[/tex]) có:
[tex]\small \dpi{150} \frac{x^{2}}{y}+y\geq 2\sqrt{\frac{x^{2}}{y}\cdot y}[/tex] = [tex]\small \dpi{150} 2x[/tex] (1)
Tương tự áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương:
[tex]\small \dpi{150} \frac{y^{2}}{z}[/tex] và [tex]\small \dpi{150} z[/tex] có:
[tex]\small \dpi{150} \frac{y^{2}}{z}+z\geq 2\sqrt{\frac{y^{2}}{z}\cdot z}= 2y[/tex] (2)
[tex]\small \dpi{150} \frac{z^{2}}{x}[/tex] và [tex]\small \dpi{150} x[/tex] có:
[tex]\small \dpi{150} \frac{z^{2}}{x}+x\geq 2\sqrt{\frac{z^{2}}{x}\cdot x}= 2z[/tex] (3)
Từ (1), (2), (3) có:
[tex]\small \dpi{150} \frac{x^{2}}{y}+x+\frac{y^{2}}{z}+y+\frac{z^{2}}{x}+z \geq 2x+2y+2z[/tex]
=>[tex]\small \dpi{150} \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}\geq 2x+2y+2z-x-y-z= x+y+z[/tex] (4)
Thay x+y+z=2016 vào (4), có:
[tex]\small \dpi{150} \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}\geq 2016[/tex]
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
