Toán BẤT ĐẲNG THỨC

[Võ Phương Hiền]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
[tex]x^{2}+y^{2}-xy-x-y+1[/tex]
2/ Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/tex]
chứng minh [tex]abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)\geq 0[/tex]
3/ Cho các số a, b, c thỏa mãn [tex]a+b+c=\frac{3}{2}[/tex]
chứng minh [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{3}{4}[/tex]
Các bạn chỉ giúp mình cách học tốt bất đẳng thức nâng cao nhé

 

[Cuprum]

1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
[tex]x^{2}+y^{2}-xy-x-y+1[/tex]
2/ Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/tex]
chứng minh [tex]abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)\geq 0[/tex]
3/ Cho các số a, b, c thỏa mãn [tex]a+b+c=\frac{3}{2}[/tex]
chứng minh [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{3}{4}[/tex]
Các bạn chỉ giúp mình cách học tốt bất đẳng thức nâng cao nhé

Bài 1: $P=x^2+y^2-xy-x-y+1\implies 2P=2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2=(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\ge 0$.
$\implies P_{min}=0$. Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=1$.
Bài 3: Ta có bất đẳng thức phụ sau: $3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)^2\iff \frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\ge 0$.
Suy ra: $a^2+b^2+c^2\ge \frac{1}{3}(a+b+c)^2=\frac{3}{4}$.
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$.

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

2/ Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/tex]
chứng minh [tex]abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)\geq 0[/tex]

[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\\\Rightarrow a^{2}\leq 1;b^{2}\leq 1;c^{2}\leq 1\\\Rightarrow a\geq -1;b\geq -1;c\geq -1\\\Rightarrow (1+a)(1+b)(1+c)\geq 0\\\Leftrightarrow 1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\geq 0(1)[/tex]
[tex]cm:1+a+b+c+ab+bc+ca\geq 0(1)\\\Leftrightarrow 2(a+b+c+ab+bc+ca)+1\geq 0\\\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+1+2(ab+bc+ca)+2(a+b+c)\geq 0\\\Leftrightarrow (a+b+c+1)\geq 0(BĐT \ luôn \ đúng)[/tex]
Cộng vế vs vế của 2 BĐT (1) và (2) ta đc:
[tex]abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geq 0[/tex]