Bất đẳng thức

[huynh_trung]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1) cho x,y,z không âm CM
[TEX]8(x^3 + y^3 + z^3)^2 \geq 9(x^2 + yz)(y^2 + xz)(z^2 + xy)[/TEX]
bài 2) Cho a,b,c>0 CM.

[TEX]\frac{a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ca} + \frac{1}{2} \geq \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}[/TEX]

bài 3) cho[TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 1 ; a,b,c \geq 0 CM[/TEX]

[TEX]\frac{a}{\sqrt[]{1 + bc}} + \frac{b}{\sqrt[]{1 + ca}} + \frac{c}{\sqrt[]{1 + ab}} \leq \frac{3}{2}[/TEX]

bài 4) Cho a,b,c>0 thoã abc=1.CM
[TEX]a^2 + b^2 + c^2 + a + b + c \geq 2(ab + bc + ca)[/TEX]
bài 5) cho [TEX]a,b,c \geq 0 ; a + b + c = 3 .CM[/TEX]

[TEX]\frac{a}{b^2 + 1} + \frac{b}{c^2 + 1} + \frac{c}{a^2 + 1} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[huynh_trung]

sao dạo này box toán 8 buồn dữ vậy trời, hok sôi nỗi j` hết trơn

 

[tuananh8]

bài 5) cho [TEX]a,b,c \geq 0 ; a + b + c = 3 .CM[/TEX]

[TEX]\frac{a^2}{b^2 + 1} + \frac{b^2}{c^2 + 1} + \frac{c^2}{a^2 + 1} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Dùng cô-si ngược dấu:
[TEX]a-\frac{a^2}{b^2 + 1}= \frac{ab^2-ab^2+a}{b^2+1}= \frac{a(b^2+1)-ab^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1} \geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/TEX] (vì [TEX]b^2+1 \geq 2b[/TEX])
tương tự [TEX]\frac{b^2}{c^2 + 1} \geq \frac{bc}{2}[/TEX]
[TEX]\frac{c^2}{a^2 + 1} \geq \frac{ca}{2}[/TEX]
công 3 vế 3 BĐT trên được:
[TEX]\frac{a^2}{b^2 + 1} + \frac{b^2}{c^2 + 1} + \frac{c^2}{a^2 + 1} \geq a+b+c - \frac{ab+bc+ca}{2}[/TEX]
Mà [TEX]ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a^2}{b^2 + 1} + \frac{b^2}{c^2 + 1} + \frac{c^2}{a^2 + 1} \geq a+b+c - \frac{ab+bc+ca}{2} \geq 3- \frac{3}{2} = \frac{3}{2}[/TEX](đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.

 

[huynh_trung]

Dùng cô-si ngược dấu:
[TEX]a-\frac{a^2}{b^2 + 1}= \frac{ab^2-ab^2+a}{b^2+1}= \frac{a(b^2+1)-ab^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1} \geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/TEX] (vì [TEX]b^2+1 \geq 2b[/TEX])
tương tự [TEX]\frac{b^2}{c^2 + 1} \geq \frac{bc}{2}[/TEX]
[TEX]\frac{c^2}{a^2 + 1} \geq \frac{ca}{2}[/TEX]
công 3 vế 3 BĐT trên được:
[TEX]\frac{a^2}{b^2 + 1} + \frac{b^2}{c^2 + 1} + \frac{c^2}{a^2 + 1} \geq a+b+c - \frac{ab+bc+ca}{2}[/TEX]
Mà [TEX]ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a^2}{b^2 + 1} + \frac{b^2}{c^2 + 1} + \frac{c^2}{a^2 + 1} \geq a+b+c - \frac{ab+bc+ca}{2} \geq 3- \frac{3}{2} = \frac{3}{2}[/TEX](đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.

tuananh8 này sai cái chỗ bất đẳng thức khi rút đấu trừ thì ngược chiều mà

 

[huynh_trung]

chổ này bạn cũng phân tích sai rồi
[TEX]a-\frac{a^2}{b^2 + 1}= \frac{ab^2-ab^2+a}{b^2+1}= \frac{a(b^2+1)-ab^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1} \geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2} (vi b^2+1 \geq 2b)[/TEX]
nếu như thế thì phải là
tương tự [TEX]a - \frac{b^2}{c^2 + 1} \geq \frac{bc}{2}..............[/TEX]

 

[tuananh8]

ừ hình như là vậy đó, mình chép sai đề, để mình nghĩ lại )))

 

[huynh_trung]

chán quá hok có ai làm nữa à .

 

[nguyenhuutaiok]

đúng là khó thật, khó quá (~~)**== ...................

 

[huynh_trung]

không có ai giải được mấy bài này à .

 

[huynh_trung]

sorry tuananh8 nha do mình ghi luộn đề nên như thế, mình sữa lại rùi đó

 

[tuananh8]

sorry tuananh8 nha do mình ghi luộn đề nên như thế, mình sữa lại rùi đó

oài, thảo nào làm mãi không ra.
mình giải lại:
dùng cô-si ngược dấu:
[TEX]\frac{a}{b^2+1}= \frac{(ab^2+a)-ab^2}{b^2+1}=a- \frac{ab^2}{b^2+1} \geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/TEX] (vì [TEX]b^2+1 \geq 2\sqrt[]{b^2}=2b)[/TEX]
Tương tự với [TEX]\frac{b}{c^2+1}[/TEX] và [TEX]\frac{c}{a^2+1}[/TEX] ta được:
[TEX]\frac{b}{c^2+1} \geq b-\frac{bc}{2}[/TEX]; [TEX]c-\frac{c}{a^2+1} \geq \frac{ac}{2}[/TEX]
cộng 3 vế ba BĐT trên ta được [TEX]\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+ \frac{c}{a^2+1} \geq (a+b+c)- \frac{ab+bc+ca}{2}[/TEX]
Mà [TEX]ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3 \Rightarrow -(ab+bc+ca) \geq -3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+ \frac{c}{a^2+1} \geq (a+b+c)- \frac{ab+bc+ca}{2} \geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}[/TEX] (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=3.