Bất đẳng thức

[thetimeforus]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3
Chứng minh [TEX]a^5+b^5+c^5+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX] >=6

 

[hien_vuthithanh]

Có : $$a^5+\dfrac{1}{a}+1+1\ge 4\sqrt[4]{a^4}=4a$$

TT $$\Longrightarrow a^5+b^5+c^5+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge 4(a+b+c)-2.3=6$$

 

[furelove]

Ta có $ a^5 + \frac{1}{a} >= 2a^2 ( BĐT cô-si)$
TT \Rightarrow $ a^5 +b^5+c^5+ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} >= 2(a^2+b^2+c^2)$ (1)
mà $ a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ac$ \Rightarrow $ 3(a^2+b^2+c^2)>= (a+b+c)^2$
\Rightarrow $a^2+b^2+c^2>=\frac{(a+b+c)^2}{3}=3$
Thay vào (1) ta được đpcm
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

P/s: Cách này hơi dài nhưng bạn có thể tham khảo thêm

 

[thetimeforus]

Ta có $ a^5 + \frac{1}{a} >= 2a^2 ( BĐT cô-si)$
TT \Rightarrow $ a^5 +b^5+c^5+ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} >= 2(a^2+b^2+c^2)$ (1)
mà $ a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ac$ \Rightarrow $ 3(a^2+b^2+c^2)>= (a+b+c)^2$
\Rightarrow $a^2+b^2+c^2>=\frac{(a+b+c)^2}{3}=3$
Thay vào (1) ta được đpcm
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

P/s: Cách này hơi dài nhưng bạn có thể tham khảo thêm

Tại sao [(a+b+c)^2]/3=3 vậy ạ?
---------------------------------------------------------------------------------------

 

[hien_vuthithanh]

Tại sao [(a+b+c)^2]/3=3 vậy ạ?
---------------------------------------------------------------------------------------

Do $a+b+c=3$ nên $\dfrac{(a+b+c)^2}{3}=3 .$

 

[thetimeforus]

Do $a+b+c=3$ nên $\dfrac{(a+b+c)^2}{3}=3 .$

Sao biết a+b+c=3...................................................................................?

 

[hien_vuthithanh]

Sao biết a+b+c=3...................................................................................?

Đọc lại đề xem !