Bất đẳng thức

[hoangthanhhai0204@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số không âm. Cmr:
$(\frac{a}{b+c})^3 + (\frac{b}{c+a})^3 + (\frac{c}{a+b})^3$ \geq $\frac{3}{8}$

 

[hien_vuthithanh]

AD Cosi :

$\dfrac{a^3}{(b+c)^3}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\ge \dfrac{3}{4}.\dfrac{a}{b+c}$

$\dfrac{b^3}{(a+c)^3}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\ge \dfrac{3}{4}.\dfrac{b}{a+c}$

$\dfrac{c^3}{(a+b)^3}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\ge \dfrac{3}{4}.\dfrac{c}{a+b}$

$\Longrightarrow \dfrac{a^3}{(b+c)^3}+\dfrac{b^3}{(a+c)^3}+\dfrac{c^3}{(a+b)^3} \ge \dfrac{3}{4}.(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b})-6.\dfrac{1}{8}\ge \dfrac{3}{4}.\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{8}$

Cái $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}$ là BĐT Nesbitt