bất đẳng thức

[tieubaobinh_98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho [TEX]x\geq1[/TEX] và[TEX]y\geq1[/TEX]
biết 3(x+y)=4xy
tìm min max của biểu thức P=[TEX]x^3 +y^3+3(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})[/TEX]

 

[eye_smile]

$P=x^3+y^3+3(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}) \ge xy(x+y)+3.\dfrac{2}{xy}=\dfrac{4x^2y^2}{3}+\dfrac{6}{xy}=\dfrac{4x^2y^2}{3}+\dfrac{243}{16xy}+\dfrac{243}{16xy}-\dfrac{195}{8xy} \ge 3.\dfrac{27}{4}-\dfrac{195}{8.\dfrac{9}{4}}=...$

Do $3(x+y)=4xy \ge 6\sqrt{xy}$ nên $xy \ge \dfrac{9}{4}$

 

[tieubaobinh_98]

$P=x^3+y^3+3(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}) \ge xy(x+y)+3.\dfrac{2}{xy}=\dfrac{4x^2y^2}{3}+\dfrac{6}{xy}=\dfrac{4x^2y^2}{3}+\dfrac{243}{16xy}+\dfrac{243}{16xy}-\dfrac{195}{8xy} \ge 3.\dfrac{27}{4}-\dfrac{195}{8.\dfrac{9}{4}}=...$

Do $3(x+y)=4xy \ge 6\sqrt{xy}$ nên $xy \ge \dfrac{9}{4}$

bạn có thể giải bằng đạo hàm được ko?_______________________________________

 

[whynotme.]

$gt \iff \dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}=\dfrac{4}{3}$

đặt $a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{x} ;0<a;b \le 1$

$P=3a^2+3b^2+\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}$

Nhận xét (bên ngoài lời giải) Từ giả thiết nhận thấy đẳng thức xảy ra khi $a=b=1$ và Bài toán cần chứng minh có dạng: Cho $g(a)+g(b)=\dfrac{4}{3}$. Tìm max;min $f(a)+f(b) $

Trong đó $f(a)= 3t^2+\dfrac{1}{t^3}; t \in (0;1]$ và $g(t)=t$

Khi đó; $\alpha=-\dfrac{f'(t)}{g'(t)}=...$

Lời giải (tiếp)

Xét hàm số: $y= 3t^2+\dfrac{1}{t^3} + \alpha t$ với $t \in (0;1]$

$y'=0 ....$. vẽ bảng biến thiên là ok