Toán 12 Bất đẳng thức

[littlezero]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho mình hỏi câu này với:
Với a, b, c là các số thực thỏa mãn a^2+b^2+c^2=3. Tìm Max của biểu thức:
P= a^4 + b^4 + c^4 + 3( ab + bc + ca )

P/s: Đây là câu số 9 trong đề thi thử lần 3 của THPT chuyên Nguyễn Huệ, mình có đọc qua đáp án rồi mà không hiểu, mong các bạn giúp mình, tks

 

[soccan]

$P=a^4+b^4+c^4+3(ab+bc+ca) \le a^4+b^4+c^4+3(a^2+b^2+c^2)$
mặt khác $(a^4+b^4+c^4)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2) \longrightarrow a^4+b^4+c^4 \le 3$
nên $ P \le 12$
đạt tại $a=b=c=1$ hoặc $a=b=c=-1$

 

[vinhvienlabaoxa]

[TEX]a^4 + b^4 + c^4 + 3(ab+bc+ca)\leq 9 - 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) + 3(a^2+b^2+c^2)= 18 - 2(a^2b^2+b^2c^2)\leq 18 - 2\frac{(ab+bc+ca)^2}{3}= 12[/TEX]
Vậy Max = 12 [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=1[/TEX]

 

[huynhbachkhoa23]

Đặt $x_1=\dfrac{a+b+c-\sqrt{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}}{3}$ và $y_1=\dfrac{a+b+c+2\sqrt{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}}{3}$
Đặt $x_2=\dfrac{a+b+c+\sqrt{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}}{3}$ và $y_2=\dfrac{a+b+c-2\sqrt{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}}{3}$
Khi đó ta có: $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\ge 0$ suy ra $x_2^2y_2\le abc\le x_1^2y_1$ và $2x_1+y_1=2x_2+y_2=a+b+c,\;\; 2x_1y_1+x_1^2=2x_2y_2+x_2^2=ab+bc+ca$
Do đó $P=9-2(ab+bc+ca)^2+4abc(a+b+c)+3(ab+bc+ca)=f(a,b,c)$
Nếu $a+b+c\le 0$ thì $P\le f(x_2,x_2,y_2)$
Nếu $a+b+c\ge 0$ thì $P\le f(x_1,x_1,y_1)$
Do đó ta chỉ cần xét trường hợp $b=c$, khi đó ta có $a^2+2b^2=3$ và $P=a^4+2b^4+3(2ab+b^2)=(3-2b^2)^2+2b^4+6ab+3b^2$
Ta chỉ cần xét khi $a\le 0$, khi đó $P=(3-2b^2)^2+2b^4-6b\sqrt{3-2b^2}+3b^2$
Ta có $P'=\dfrac{6(4b^2-3)\left(b\sqrt{3-2b^2}+1\right)}{\sqrt{3-2b^2}}=0$ nên $b=-1$ hoặc $b=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$ hoặc $b=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Thay vào ta được $P\le 12$
Vậy $\text{max}P=12$ khi $a=b=c=\pm 1$ hoặc $a=b=\dfrac{\pm1}{\sqrt{2}}, c=\pm \sqrt{2}$ và các hoán vị.
Đề thi thử mà cho cả định lý pqr vào thì chắc chết học sinh -_-.