Bất đẳng thức

[toantoan2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) cho a,b,c >0. CM:
a) $ \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a}+\frac{ac}{b} $ \geq a+b+c
b) $ \frac{a^3+b^3}{2ab} +\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{a^3+c^3}{2ac} $ \geq a+b+c
c) $ \frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc} $ \leq $\frac{1}{abc} $
2) tìm max
a) $\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}$ biết xyz=1 và x,y,z >0
b) $3a +4\sqrt[]{1-a^2}$
3) x,y,z,t >0. CM: $\frac{3}{4}< \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+ \frac{t}{t+x+y} < \frac{5}{2}$

 

[hien_vuthithanh]

1) cho a,b,c >0. CM:
a) $ \dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b} \ge a+b+c$
b) $ \dfrac{a^3+b^3}{2ab} +\dfrac{b^3+c^3}{2bc}+\dfrac{a^3+c^3}{2ac} \ge a+b+c$
c) $ \dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+ \dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{a^3+c^3+abc} $ \leq $\dfrac{1}{abc} $

a/ Có : $ \dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a}\ge 2b$

TT có : $\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b} \ge 2c$

$ \dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}\ge 2a$

Cộng theo vế có đpcm

b/ Có : $a^3+b^3 \ge ab(a+b) $ \forall $a,b \ge 0$

AD có : $ \dfrac{a^3+b^3}{2ab} +\dfrac{b^3+c^3}{2bc}+\dfrac{a^3+c^3}{2ac} \ge \dfrac{ab(a+b)}{2ab}+\dfrac{bc(b+c)}{2bc}+\dfrac{ca(a+c)}{2ac}=a+b+c$

c/AD : $a^2-ab+b^2 \ge ab$

Có: $ \dfrac{1}{a^3+b^3+abc}= \dfrac{1}{(a+b)(a^2-ab+b^2)+abc}\le \dfrac{1}{(a+b)ab+abc}=\dfrac{1}{ab(a+b+c)}$

TT $\rightarrow \dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+ \dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{a^3+c^3+abc} \le \dfrac{1}{ab(a+b+c)}+\dfrac{1}{bc(a+b+c)}+\dfrac{1}{ca(a+b+c)}=\dfrac{1}{abc} $

 

[thanhlan9]

Câu 1
a, Sử dụng bdt [TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX]
Ta có [TEX]VT= \frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc} \geq \frac{abc(a+b+c)}{abc} =a+b+c[/TEX]

b,c, Sử dụng bdt [TEX]x^3+y^3 \geq xy(x+y)[/TEX]
+) b, Ta có [TEX]VT \geq \frac{ab(a+b)}{2ab}+\frac{bc(b+c)}{2bc}+\frac{ca(c+a)}{2ca} =a+b+c[/TEX]

+) c,Ta có [TEX]VT \leq \frac{1}{ab(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ca(a+b+c} =\frac{1}{abc}[/TEX]
Dấu = xảy ra khi a=b=c

 

[hien_vuthithanh]

2) tìm max
a) $\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{z^3+x^3+1}$ biết $xyz=1$ và $x,y,z >0$

$\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{z^3+x^3+1}$

$= \dfrac{1}{x^3+y^3+xyz}+ \dfrac{1}{y^3+z^3+xyz}+\dfrac{1}{z^3+x^3+xyz}$

$\le \dfrac{1}{xy(x+y)+xyz}+ \dfrac{1}{yz(y+z)+xyz}+\dfrac{1}{zx(z+x)+xyz}$

$\le \dfrac{1}{x+y+z}.(\dfrac{1}{xy}+ \dfrac{1}{yz}+ \dfrac{1}{zx}) = \dfrac{1}{xyz}=1$

$\rightarrow Max =1$

Dấu = tại $x=y=z=1$

 

[thanhlan9]

Câu 2
a, Ta có [TEX]x^3+y^3+1 \geq xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z) \Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1} \leq \frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}[/TEX]
Tương tự ta đc [TEX]VT \leq \frac{x+y+z}{x+y+z}=1[/TEX]
Vậy Max=1 khi x=y=z=1

b, ĐK [TEX]-1 \leq a \leq 1[/TEX]
Áp dụng bdt bunhia copxki
[TEX][a^2+(1_a^2)](9+16) \geq (3a+4\sqrt[2]{1-a^2})^2 \Rightarrow 3a+4\sqrt[2]{1-a^2} \leq 5[/TEX]
Dấu = xảy ra khi [TEX]\frac{a}{3} = \frac{\sqrt[2]{1-a^2}}{4} , a \geq 0 \Leftrightarrow a=3/5[/TEX]

 

[thanhlan9]

Câu 3
Ta thấy [TEX]\frac{x}{x+y+z+t} < \frac{x}{x+y+z} < \frac{x+t}{x+y+z+t} \forall x,y,z,t >0[/TEX]
Tương tự ta đc 1<A<2 hay 3/4<A<5/2
------------------------------------------------------------------------------