Bất đẳng thức

[skysport_fc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 3[/TEX] . C/m:
$\frac{a^2+1}{b} + \frac{b^2+1}{c} + \frac{c^2+1}{a}$ \geq 2(a +b + c)

 

[transformers123]

Ta có: $a^2+b^2+c^2 \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$

$\Longrightarrow \dfrac{(a+b+c)^2}{3} \le 3$

$\iff a+b+c \le 3 \iff VP=2(a+b+c) \le 6\ \bigstar$

Ta có:

$VT=(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a})+(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

$\iff VT \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a^2b^2c^2}{abc}}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}$

$\iff VT \ge 3(\sqrt[3]{abc}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}})$

$\iff VT \ge 3.2\sqrt{\sqrt[3]{abc}.\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}}$

$\iff VT \ge 6\ \bigstar\ \bigstar$

Từ $\bigstar$ và $\bigstar\ \bigstar$, ta có:

$\dfrac{a^2+1}{b}+\dfrac{b^2+1}{c}+\dfrac{c^2+1}{a} \ge 2(a+b+c)$