Bất đẳng thức

[congquyen134]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Hãy so sánh 2 số: x= (1+a)/(1+a+a^2) và y= (1+b)/(1+b+b^2) với a>b>0
2/ Cho biểu thức: P= 3/(x^4-x^3+x-1) + 1/(x+1-x^4-x^3) - 4/(x^5-x^4+x^3-x^2+x-1)
C/m: 0<P< 32/9 với mọi x khác 1 và -1
3/ Cho x>y và xy=1, C/m: (x^2+y^2)^2/(x-y)^2 \geq 8

 

[duc_2605]

Nhận xét: x > y nên x - y > 0
Xuất phát từ bất đẳng thức:
$(x^2 + y^2 - 4)^2$ \geq 0 \Rightarrow $(x^2+y^2)^2 - 8(x^2+y^2) + 16$ \geq 0 \forall x,y
\Rightarrow $(x^2 + y^2)^2 - 8x^2 - 8y^2 +16xy$ \geq $0$ \forall x,y
\Rightarrow $(x^2 + y^2)^2$ \geq $8(x-y)^2$ \forall x,y
Do x - y > 0 hay $(x-y)^2$ > 0 nên ta có:
$\dfrac{(x^2 + y^2)^2}{(x-y)^2}$ \geq 8 (đpcm)

 

[thanghasonlam]

1)Do a>b>0
suy ra (b-a) <0
(b-a)(a+b+ab)<0
b^2+ab^2-a^2-ba^2<0
b^2+ab^2<a^2+ba^2
b^2+2ab^2-ab^2<a^2+2ba^2-ba^2
$\Leftrightarrow (a+1)^2* b^2-ab^2<(b+1)^2*a^2-ba^2
$\Leftrightarrow $\frac{b^2}{(b+1)^2-b}$ < $\frac{a^2}{(a+1)^2-a}$(1)

Mặt khác $\frac{a+1}{a^2+a+1}$=1- $\frac{a^2}{(a+1)^2-a}$(2)
$\frac{b+1}{b^2+b+1}$=1- $\frac{b^2}{(b+1)^2-b}$(3)
Từ 1.2.3 suy ra $\frac{a+1}{a^2+a+1}$ < $\frac{b+1}{b^2+b+1}$