Bất đẳng thức

[toantoan2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x,y\ge 0$ và $x^2+ y^2= 1$

CM: $\dfrac{1}{\sqrt{2}} \le x^3+y^3 \le 1$

 

[lp_qt]

tham khảo tại đây

 

[eye_smile]

$x^3+y^3=\dfrac{x^4}{x}+\dfrac{y^4}{y} \ge \dfrac{(x^2+y^2)^2}{x+y}=\dfrac{1}{x+y}$

Do $(x+y)^2 \le 2(x^2+y^2)=2$ \Rightarrow $x+y \le \sqrt{2}$

\Rightarrow $x^3+y^3 \ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Từ đk \Rightarrow $x;y \le 1$

\Rightarrow $x^3 \le x^2; y^3 \le y^2$

\Rightarrow $x^3+y^3 \le x^2+y^2=1$