Bất Đẳng Thức

[tienqm123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a;b;c \geq 0 . CM:
$\dfrac {1 + a^3 } { 1 + ab^2 } + \dfrac {1 + b^3 } { 1 + bc^2 } + \dfrac {1 + c^3 } { 1 + ca^2 } \ge 3$

 

[eye_smile]

$\dfrac {1 + a^3 }{ 1 + ab^2 } + \dfrac {1 + b^3 }{ 1 + bc^2 } + \dfrac {1 + c^3 }{ 1 + ca^2 } \ge 3\sqrt[3]{\dfrac {1 + a^3 }{ 1 + ab^2 }.\dfrac {1 + b^3 }{ 1 + bc^2 }.\dfrac {1 + c^3 }{ 1 + ca^2 }}$

Cần cm: $3\sqrt[3]{\dfrac {1 + a^3 }{ 1 + ab^2 }.\dfrac {1 + b^3 }{ 1 + bc^2 }.\dfrac {1 + c^3 }{ 1 + ca^2 }} \ge 3$

\Leftrightarrow $(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) \ge (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)$

\Leftrightarrow $a^3+b^3+c^3+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 \ge ab^2+bc^2+ca^2+ab^3c^2+a^2bc^3+a^3b^2c$

+ $a^3+2b^3 \ge 3ab^2$

TT \Rightarrow $a^3+b^3+c^3 \ge ab^2+bc^2+ca^2$

+$b^3c^3+2a^3c^3 \ge 3a^2bc^3$

TT \Rightarrow $a^3+b^3+c^3 \ge ab^3c^2+a^2bc^3+a^3b^2c$

\Rightarrow đpcm.