Bất đẳng thức

[kimyejim]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

C/M: [TEX]a^3+b^3+c^3\geq4a^2+4b^2+4c^2[/TEX]
cho: a,b,c>0 và abc=64

 

[lp_qt]

$a^3+a^3+64 \ge 3.\sqrt[3]{a^3.a^3.64}=12a^2$

\Rightarrow $2.(a^3+b^3+c^3)+192 \ge 12(a^2+b^2+c^2)$

\Leftrightarrow $2(a^3+b^3+c^3) \ge 8(a^2+b^2+c^2)+ 4(a^2+b^2+c^2)-192$

ta cần cm:

$4(a^2+b^2+c^2)-192 \ge 0$

\Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2 \ge 48$

thật vậy : $a^2+b^2+c^2 \ge 3.\sqrt[3]{(abc)^2}=48$

\Rightarrow đpcm.

 

[eye_smile]

$a^3+a^3+4^3 \ge 3.a^2.4=12a^2$

$b^3+b^3+4^3 \ge 3b^2.4=12b^2$

$c^3+c^3+4^3 \ge 3.c^2.4=12c^2$

\Rightarrow $2(a^3+b^3+c^3)+3.4^3 \ge 3(4a^2+4b^2+4c^2)$

\Leftrightarrow $2(a^3+b^3+c^3) \ge 2(4a^2+4b^2+4c^2)+(4a^2+4b^2+4c^2-3.4^3) \ge 2(4a^2+4b^2+4c^2)+(3.4.\sqrt[3]{(abc)^2}-3.4^3) \ge 2(4a^2+4b^2+4c^2)$

\Rightarrow đpcm.